欧拉函数
欧拉函数
先介绍一下什么是积性函数，后面将会用到。
若当m与n互质时，f(m∗n)=f(m)∗f(n)，那么f是积性函数。
若对任意正整数，都有f(m∗n)=f(m)∗f(n)成立，则f是完全积性函数。
φ(n)指得是小于n的数，与n互质的个数，欧拉函数除了可以直接判断互质之外，还可以这样求
φ(n）= n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)........ p1,p2,p3都是n的质因数，分解质因数
关于欧拉函数有几个性质
1 对于质数n,φ(n) = n-1;
2.若p为质数，则φ(p^k) = p^k*(1-1/p) = p^k-p^(k-1);
3.欧拉函数是积性性函数，但也不完全，只有当m与n互质，φ(m*n) = φ（m）*φ（n）;特殊情况,m 奇数，φ(2*m) = φ（m）,由公式可以证明得到
φ(2*m) = 2*m*(1-1/2)*(1-1/p1)*(1-1/p2).... φ(m) = m*(1-1/p1)*(1-1/p2).......
4.n>2,φ(n)为偶数
证明
当n奇数， φ(n) = n*(1-1/p1)*(1-1/p2)=n* (p1-1)/p1 * (p2-1)/p2 ,p1-1,p2-1，为偶数，则φ(n) 为偶数；
当n偶数，φ(n) = n*(1-1/2)*(1-1/p1)*(1-1/p2) = n* 1/2 * (p1-1)/p1 * (p2-1)/p2 , 为偶数，则φ(n) 为偶数;
5.当m|n m整除n, ,则φ(m*n) =m*φ(n) ,n的所有质因数都是m的质因数，因此φ(m*n）= m*n*(1-1/p1)*(1-1/p2).......
= m*φ(n);
6. 小于n的数中，与n互质的数的总和为：φ(n) * n / 2 (n>1)。
gcd(i,n)=1，则有gcd(n−i,n)=1
于是在小于n
且与n互质的数中，i与n−i总是成对存在，且相加等于n。
7. n=∑d∣nφ(d)，即n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n,包括1与它本身。
证明：
F[n]=∑d∣nφ(d);
（1）如果n==1; F【n】=∑d∣nφ(d), F[1] = φ(1) F[n] =n;
(2)如果n质数，φ【n】= n-1,F[n] = φ【1】+φ【n】 = 1+n-1=n;
(3) 如果n为质数p 的k 次方，φ【p^k】=p^k-p^(k-1),F[n] =φ【1】+ φ【p】+φ【p^1】+.......+φ【p^k】 = 1+p-1+ p^2- p......
= p^k = n;
(4) 如果n有多个质因子，即n=p^k *p1^k1*p2^k2......;
首先证明积性函数,m,n互质,i为m因数，j为n因数
F[m*n]= F[n]*F[m]= φ【i1】*φ【j1】+ φ【i2】*φ【j2】+ φ【i3】*φ【j3】+......
i1,j1;i2,j2;各自互质
=φ【i1*j1】+........
则为积性函数；
则F(n)=F(p1^k1)∗F(p2^k2)∗⋯∗F(pn^kn)=p1^k1*p2^k2⋯pn^kn=n;
成立。
综上，F(n)=n
对所有的正整数n成立。
求欧拉函数
1
int main()
{
int phi[1000];
for(int i=0;i2
int main()
{
memset(flag,0,sizeof(flag));
memset(phi,0,sizeof(phi);
flag[1]=1;
phi[1]=1;
int t=0;
for(int i=2;i