回溯法--符号三角形问题

问题描述： 
如下图是由14个“+”和14个“-”组成的符号三角形, 2个同号下面都是“+”，2个异号下面都是“-”。 
- + + - + + +  
 - + - - + +  
  - - + - +  
   + - - -  
    - + +  
     - +  
      - 
在一般情况下，符号三角形的第一行有n个符号, 符号三角形问题要求对于给定的n， 
计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。 
 
解题思路： 
1、不断改变第一行每个符号，搜索符合条件的解，可以使用递归回溯 
为了便于运算，设+ 为0，- 为1，这样可以使用异或运算符表示符号三角形的关系 
++为+即0^0=0, --为+即1^1=0, +-为-即0^1=1, -+为-即1^0=1;   
2、因为两种符号个数相同，可以对题解树剪枝， 
当所有符号总数为奇数时无解，当某种符号超过总数一半时无解 

 

源代码：

#include"iostream"  
using namespace std;  
typedef unsigned char uchar;  
 
char cc[2]={'+','-'};   //便于输出  
int n,                  //第一行符号总数  
    half,               //全部符号总数一半  
    counter;            //1计数，即“-”号计数         
uchar **p;              //符号存储空间      
long sum;               //符合条件的三角形计数   
 
void Backtrace(int t)   //t，第一行第t个符号  
{  
    int i, j;          
    if( t > n )  
    {//符号填充完毕  
        sum++;              
        //打印符号  
        cout << "第" << sum << "个:\n";  
        for(i=1; i<=n; ++i)  
        {  
            for(j=1; j            {  
                cout << " ";  
            }                  
            for(j=1; j<=n-i+1; ++j)  
            {  
                cout << cc[ p[i][j] ] << " ";  
            }  
            cout << "\n";  
        }  
    }  
    else 
    {  
       for(i=0; i<2; ++i)  
       {  
            p[1][t] = i;        //第一行第t个符号  
            counter += i;       //“-”号统计,因为"+"的值是0 
              
            for(j=2; j<=t; ++j)  //当第一行符号>=2时，可以运算出下面行的某些符号，j可代表行号  
            {   
               p[j][t-j+1] = p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];//通过异或运算下行符号，t-j+1确定的很巧  
               counter += p[j][t-j+1];                       
            }    
            if( (counter <= half) && ( t*(t+1)/2 - counter <= half) )  
            {//若符号统计未超过半数，并且另一种符号也未超过半数，同时隐含两者必须相等才能结束  
                Backtrace(t+1);         //在第一行增加下一个符号  
            }                
            //回溯，判断另一种符号情况   像是出栈一样，恢复所有对counter的操作
            for(j=2; j<=t; ++j)    
            {  
                counter -= p[j][t-j+1];  
            }                   
            counter -= i;  
       }  
    }  
}  
 
int main()  
{     
    cout << "请输入第一行符号个数n：";  
    cin >> n;  
    counter = 0;  
    sum = 0;  
    half = n*(n+1)/2;  
    int i=0;  
      
    if( half%2 == 0 )  
    {//总数须为偶数，若为奇数则无解  
        half /= 2;  
        p = new uchar *[n+1];  
 
        for(i=0; i<=n; ++i)  
        {  
           p[i] = new uchar[n+1];  
           memset(p[i], 0, sizeof(uchar)*(n+1));  
        }  
             
        Backtrace(1);  
        for(i=0; i<=n; ++i)   //删除二维动态数组的方法
        {  
            delete[] p[i];  
        }  
        delete[] p;  
    }  
      
    cout << "\n总共 " << sum << " 个"<< endl;  
    return 0;  
}
   

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