0-1背包问题—回溯算法—java实现

0-1背包问题

【问题描述】

有n种可选物品1，…，n ，放入容量为c的背包内，使装入的物品具有最大效益。
表示
n ：物品个数
c ：背包容量
p1,p2, …, pn：个体物品效益值
w1,w2, …，wn：个体物品容量

【问题解析】

0-1背包问题的解指：物品1,…,n的一种放法(x1, ···,xn的0/1赋值)，使得效益值最大。
假定背包容量不足以装入所有物品：面临选择
【优化原理】无论优化解是否放物品1，优化解对物品2,…,n的放法，相对剩余背包容量，也是优化解。

首先给出所需要的变量：
```
private static int[] p;//物品的价值数组
private static int[] w;//物品的重量数组
private static int c;//最大可以拿的重量
private static int count;//物品的个数

private static int cw;//当前的重量
private static int cp;//当前的价值
static int bestp;//目前最优装载的价值
private static int r;//剩余物品的价值

private static int[] cx;//存放当前解
private static int[] bestx;//存放最终解
```
解空间树：子集树
可行性约束条件：cw + w[t] < c
上界函数：cp + r <= bestp，即如果当前结点满足这个条件时，就可以将该结点的右子树剪去。

[核心算法]

```
/**
 * 回溯
 * @param t
 */
public static void BackTrack(int t) {
    if(t>count) {//到达叶结点
        if(cp>bestp) {
            for(int i = 1;i<=count;i++) {
                bestx[i] = cx[i];
            }

            bestp = cp;
        }
        return;
    }

    r -= p[t];
    if(cw + w[t] <= c) {//搜索左子树
        cx[t] = 1;
        cp += p[t];
        cw += w[t];
        BackTrack(t+1);
        cp -= p[t];//恢复现场
        cw -= w[t];//恢复现场

    }

    if(cp + r >bestp) {//剪枝操作
        cx[t] = 0;//搜索右子树
        BackTrack(t+1);
    }
    r += p[t];//恢复现场
}

```

[完整代码]

```
package sort;

public class Zero_One {
private static int[] p;//物品的价值数组
private static int[] w;//物品的重量数组
private static int c;//最大可以拿的重量
private static int count;//物品的个数

private static int cw;//当前的重量
private static int cp;//当前的价值
static int bestp;//目前最优装载的价值
private static int r;//剩余物品的价值

private static int[] cx;//存放当前解
private static int[] bestx;//存放最终解

public static int Loading(int[] ww,int[] pp, int cc) {
    //初始化数据成员，数组下标从1开始
    count = ww.length - 1;
    w = ww;
    p = pp;
    c = cc;
    cw = 0;
    bestp = 0;
    cx = new int[count+1];
    bestx = new int [count+1];

    //初始化r，即剩余最大价格
    for(int i = 1;i<=count;i++) {
        r += p[i];
    }

    //调用回溯法计算
    BackTrack(1);
    return bestp;   
}

/**
 * 回溯
 * @param t
 */
public static void BackTrack(int t) {
    if(t>count) {//到达叶结点
        if(cp>bestp) {
            for(int i = 1;i<=count;i++) {
                bestx[i] = cx[i];
            }

            bestp = cp;
        }
        return;
    }

    r -= p[t];
    if(cw + w[t] <= c) {//搜索左子树
        cx[t] = 1;
        cp += p[t];
        cw += w[t];
        BackTrack(t+1);
        cp -= p[t];//恢复现场
        cw -= w[t];//恢复现场

    }

    if(cp + r >bestp) {//剪枝操作
        cx[t] = 0;//搜索右子树
        BackTrack(t+1);
    }
    r += p[t];//恢复现场
}



public static void main(String[] args) {
    //测试
    int[] w1 = {0,15,25,40,20,15,24};
    int[] p1 = {0,10,5,20,2,14,23};
    int c1 = 30;
    Loading(w1,p1,c1);
    System.out.println("最优装载为：" + bestp);
    for(int i =1;i<=count;i++) {
        System.out.print(bestx[i] + " ");
    }           
}

}
“`

[运行示例]