二分归并排序之求逆序数

求排列的逆序数

题目内容：在Internet上的搜索引擎经常需要对信息进行比较，比如可以通过某个人对一些事物的排名来估计他（或她）对各种不同信息的兴趣，从而实现个性化的服务。

对于不同的排名结果可以用逆序来评价它们之间的差异。考虑1,2,…,n的排列i₁，i₂，…，i_n，如果其中存在j,k，满足j < k 且 i_j > i_k， 那么就称(i_j,i_k)是这个排列的一个逆序。

一个排列含有逆序的个数称为这个排列的逆序数。例如排列 263451 含有8个逆序(2,1),(6,3),(6,4),(6,5),(6,1),(3,1),(4,1),(5,1)，因此该排列的逆序数就是8。显然，由1,2,…,n 构成的所有n!个排列中，最小的逆序数是0，对应的排列就是1,2,…,n；最大的逆序数是n(n-1)/2，对应的排列就是n,(n-1),…,2,1。逆序数越大的排列与原始排列的差异度就越大。

现给定1,2,…,n的一个排列，求它的逆序数。

输入

第一行是一个整数n，表示该排列有n个数（0<=n <= 100000)。
第二行是n个不同的正整数，之间以空格隔开，表示该排列。 输出 输出该排列的逆序数
例如： 输入：6           2 6 3 4 5 1 输出：8
基本思路： 1.使用二分归并排序法【分治法】进行求解； 2.将序列依此划分为两两相等的子序列； 3.对每个子序列进行排序（比较r[i]>r[j],如果满足条件，则求该子序列的逆序数count=m-i+1,其中m=(start+end)/2） 4.接着合并子序列即可。
算法1：

#include 
#include 
#include 
int count=0;

/*合并子序列*/
void Merge(long long r[],int s,int m,int t){
	int i,j;
	for(j=m+1;j<=t;j++){
		for(i=s;i<=m;i++){
			if(r[i]>r[j])
			   count++;
		}
	}   
} 

/*对序列r[s]-r[t]进行归并排序*/ 
int MergeSort(long long r[],int s,int t){
	int m;
	if(s==t) 
	   return -1;
	else{
		m=(s+t)/2;
		MergeSort(r,s,m);
		MergeSort(r,m+1,t);
		Merge(r,s,m,t);
	}
}

int main(){
    long long *a;//注意使用long long型，以防溢出 
    int n,i;
    scanf("%d",&n);
    //动态开辟数组 
    a=(long long *)malloc(n*sizeof(long long));
    for(i=0;i

如果使用简单的算法1，第一层循环逐个扫描序列的元素，第二层循环逐个扫描当前元素之后的所有元素，看是否形成逆序对，并统计逆序对的数目，这个算法的时间复杂度是O(n^2)。 事实上还有时间复杂度为O(nlogn)的算法2。考虑归并排序的某一合并步骤，例如3,4,6,10与2,5,7,8合并，3>2，由于左右半边各自有序，所以左半边3之后的元素均>3>2，因此都会与2形成逆序对，所以目前有4个逆序对(3,2)(4,2)(6,2)(10,2)，把2划去，两个子序列变为3,4,6,10与5,7,8，重复以上过程，即可统计出“新增”逆序对的数目count。这个过程的时间复杂度为O(n)。

算法2：

#include 
#include 
#include 
#define max 100001
long long count=0;

/*合并子序列*/
void Merge(long long r[],long long r1[],int s,int m,int t){
	int i=s,j=m+1,k=s;
	while(i<=m&&j<=t){
		if(r[i]<=r[j])
		   r1[k++]=r[i++];
		else{
		   r1[k++]=r[j++];
		   count+=(m-i+1);
		}
	}
	while(i<=m)
	   r1[k++]=r[i++];
	while(j<=t)
	   r1[k++]=r[j++];
	for(i=s;i<=t;i++)
	   r[i]=r1[i];
} 

/*对序列r[s]-r[t]进行归并排序*/ 
int MergeSort(long long r[],int s,int t){
	int m;
	long long r1[max];
	if(s==t) 
	   return -1;
	else{
		m=(s+t)/2;
		MergeSort(r,s,m);
		MergeSort(r,m+1,t);
		Merge(r,r1,s,m,t);
	}
}

int main(){
    int n,i;
    long long *a;//注意使用long long型，以防溢出
    scanf("%d",&n);
    if(n==0){//如果输入个数为0，直接输出0 
	printf("%d",count);
	exit(0);
    }
    a=(long long *)malloc(n*sizeof(long long));
    for(i=0;i

注意：为防止溢出，每个变量数据类型一定要慎重选择！！！