LIS 算法解析

有两种算法复杂度为 O(n＊logn) 和 O(n＾2)

O(n＾2)算法分析如下： （a［1］...a［n］ 存的都是输入的数)

1、对于a［n］来说.由于它是最后一个数，所以当从a［n］开始查找时，只存在长度为1的上升子序列；

2、若从a［n-1］开始查找.则存在下面的两种可能性：

(1)若a［n-1］ ＜ a［n］ 则存在长度为2的上升子序列 a［n-1］、a［n］；

(2)若a［n-1］ ＞ a［n］ 则存在长度为1的上升子序列 a［n-1］或者a［n］；

3、一般若从a［t］开始.此时最长上升子序列应该是按下列方法求出的：

在a［t+1］.a［t+2］… a［n］中.找出一个比a［t］大的且最长的上升子序列，作为它的后继。

4、为算法上的需要.定义一个数组dp[1 … n]记录最长上升子序列的长度，则：

dp[1] = 1;

dp[k] = Max (dp[i]:1 <= i < k 且 a[i ]< a[k] 且 k != 1) + 1.

核心代码：

dp[1] = 1;

for (i = 2; i <= n; i++)

{

temp = 0;

for (j = 1; j < i; j++)

{

if (a[i] > a[j])

if (temp < dp[j])

temp = dp[j];

}

dp[i] = temp + 1;

}

最长上升子序列的O(n＊logn)算法分析如下:

先回顾经典的O(n＾2)的动态规划算法，设a[t]表示序列中的第t个数，dp[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设dp [t] = 0(t = 1, 2, ..., len(a))。则有动态规划方程：dp[t] = max{1, dp[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且a[j] < a[t])。

现在，我们仔细考虑计算dp[t]时的情况。假设有两个元素a[x]和a[y]，满足

(1)x < y < t

(2)a[x] < a[y] < a[t]

(3)dp[x] = dp[y]

此时，选择dp[x]和选择dp[y]都可以得到同样的dp[t]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择a[x]还是应该选择a[y]呢？

很明显，选择a[x]比选择a[y]要好。因为由于条件(2)，在a[x+1] ... a[t-1]这一段中，如果存在a[z]，a[x] < a[z] < a[y]，则与选择a[y]相比，将会得到更长的上升子序列。

再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据dp[]的值进行分类。对于dp[]的每一个取值k，我们只需要保留满足dp[t] = k的所有a[t]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{a[t]} (dp[t] = k)。

注意到D[]的两个特点：

(1)　D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。

(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。

利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断a[t]与D[len]。若a [t] > D[len]，则将a[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = a [t]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < a[t]。令k = j + 1，则有a [t] <= D[k]，将a[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，更新D[k] = a[t]。最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。

在上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！

二分查找法见：http://blog.163.com/quxp0718@126/blog/static/96937938200972823041497/

核心代码：

int binsearch(int x) //找到最小的大于等于它的数

{

int l = 1, r = len, mid;

while (l <= r)

{

mid = (l + r) >> 1;

if (d[mid-1] <= x && x < d[mid]) return mid;

else if (x > d[mid]) l = mid + 1;

else r = mid - 1;

}

}

int main()

{

scanf ("%d", &n);

for (i = 1; i<= n; i++)

scanf ("%d", &a[i]);

memset (d, 0, sizeof (d));

d[1] = a[1];

len = 1;

for (i = 2; i <= n; i++)

{

if (a[i] < d[1]) j = 1;

else if (a[i] > d[len]) j = ++len;

else j = binsearch (a[i]);

d[j] = a[i];

}

printf ("%d\n", len);

return 0;

}

http://blog.163.com/quxp0718@126/blog/static/96937938200972874229274/?fromdm&fromSearch&isFromSearchEngine=yes