划分树
有一个多月没更新博客了，惭愧呀！！！说没时间（毕竟每天娱乐的时间都还是保质保量的… ）都是借口，懒才是真的。。。
划分树是基于线段树的一种数据结构，主要用于在 l o g ( n ) log(n) log(n)内求出序列区间的第K大值；
划分树主要分为两部分，建树和查询。
插个模板例题Poj 2104 K-th Number
建树：
建树过程类似于快速排序，所建的树每一层都有n个元素，建树的核心就是根据根节点的信息将下一层分为左右子节点，使得左子节点内的所有元素严格不大于右子节点内的所有元素。也就是说在每次要递归的区间，找到其中位数，小于中位数的放到左子节点内，大于中位数的放到右子节点。
同时这样会保证，在同一个节点内，元素的相对位置相比于原序列来说，相对位置没有发生变化（这一点很重要）。但是在分配元素的过程中还存在着一个问题，那就是中位数在需要处理的区间内，可能不止一个，这种情况就要单独分配。所以，根节点所管辖的区间一旦确立，在左右子节点内元素的个数是确定的，所有将中位数按位补充分配到左右字节点内。之后不断递归建树就可以了。
一些数组声明
int a[MAXN];//原数组
int sorted[MAXN];//排序后的数组
int seg[20][MAXN];//划分树数组
int toleft[20][MAXN];//一个重要的辅助数组
//toleft[d][i] 用来表示当前层里面区间[1,i]里面进入左子树的数的个数
//所以toleft[d][r]-toleft[d][l-1]表示在第d层，区间[l,r]进入左子树的数的个数
good luck and have fun!!!
建树代码：
void build(int l,int r,int d)
{
if(l==r)
return;
int m=(l+r)>>1;
int suppose=m-l+1;
for(int i=l;i<=r;i++)
if(seg[d][i]<sorted[m]) suppose--; //记录需要放在左子树的与中位数一样大的个数
int nl=l,nr=m+1;
for(int i=l;i<=r;i++)
{
if(seg[d][i]<sorted[m]) seg[d+1][nl++]=seg[d][i];
else if(seg[d][i]==sorted[m]&&suppose) seg[d+1][nl++]=seg[d][i],suppose--;
else seg[d+1][nr++]=seg[d][i];
toleft[d][i]=toleft[d][l-1]+nl-l;
}
build(l,m,d+1);
build(m+1,r,d+1);
}
查询：
查询是在每一层的toleft的基础上进行区间的缩小，直到待查询区间缩小为1即为查询结果。
总区间为 [ L , R ] [L,R] [L,R],待查区间为 [ l , r ] [l,r] [l,r]； k k k是第 K K K大值， t o l e f t [ r ] − t o l e f t [ l − 1 ] toleft[r]-toleft[l-1] toleft[r]−toleft[l−1]为区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]内被分配到左子数的个数， M = ⌊ ( L + R ) / 2 ⌋ M=\lfloor(L+R)/2\rfloor M=⌊(L+R)/2⌋。
如果 t o l e f t [ r ] − t o l e f t [ l − 1 ] > = k toleft[r]-toleft[l-1]>=k toleft[r]−toleft[l−1]>=k，则说明第k大值一定在左子树。
此时就可以更新递归到的下一层的区间了，首先大区间二分为 [ L , M ] [L,M] [L,M]，然后考虑小区间，可以确定的是， [ l , r ] [l,r] [l,r]分配在左子树的元素一定在区间 [ L , M ] [L,M] [L,M]内。
然后，确定小区间的左边界 n l = L + t o l e f t [ d ] [ l − 1 ] − t o l e f t [ d ] [ L − 1 ] nl=L+toleft[d][l-1]-toleft[d][L-1] nl=L+toleft[d][l−1]−toleft[d][L−1]。其中 t o l e f t [ d ] [ l − 1 ] − t o l e f t [ d ] [ L − 1 ] toleft[d][l-1]-toleft[d][L-1] toleft[d][l−1]−toleft[d][L−1]为 [ L , l − 1 ] [L,l-1] [L,l−1]内被分配到左子树的个数，他们不在查找之列，但相对位置不变，这些元素一定排在前面，以此来确定左边界。
基于左边界，右边界就好确定了，因为 t o l e f t [ r ] − t o l e f t [ l − 1 ] > = k toleft[r]-toleft[l-1]>=k toleft[r]−toleft[l−1]>=k，所以左边界加上 t o l e f t [ r ] − t o l e f t [ l − 1 ] − 1 toleft[r]-toleft[l-1]-1 toleft[r]−toleft[l−1]−1即可，即 n r = n l + t o l e f t [ r ] − t o l e f t [ l − 1 ] − 1 nr=nl+toleft[r]-toleft[l-1]-1 nr=nl+toleft[r]−toleft[l−1]−1。
t o l e f t [ r ] − t o l e f t [ l − 1 ] < k toleft[r]-toleft[l-1]<k toleft[r]−toleft[l−1]<k时进入右子树，处理方法类似。
good luck and have fun!!!
查询代码：
int query(int L,int R,int l,int r,int k,int d)
{
if(l==r) return seg[d][l];
int M=(L+R)>>1;
int cnt=toleft[d][r]-toleft[d][l-1];
if(cnt>=k)
{
int nl=L+toleft[d][l-1]-toleft[d][L-1];
int nr=nl+cnt-1;
return query(L,M,nl,nr,k,d+1);
}
else
{
int nr=r+toleft[d][R]-toleft[d][r];
int nl=nr-(r-l-cnt);
return query(M+1,R,nl,nr,k-cnt,d+1);
}
}