母牛繁殖问题：一头母牛，每年年初生一头小母牛，每头小母牛从第四个年头起，每年年初也要生一头小母牛，问：第20个年头后共有多少只牛？

一头母牛，每年年初生一头小母牛，每头小母牛从第四个年头起，每年年初也要生一头小母牛。

从上面我们可以看出，每一代的数目就像是多个相似三角形一样，为此画出下面的图形

这样的话所有子代的的数目很明显就是，绿色线条长度所代表数目的总和。

也就是：

sum = 5 + 10 + 15 + （n - 15） + (n - 10) + (n - 5) + n;

同时又要加上最初的那头母牛：sum = sum + 1;

分析出来，其实就是一个以5为初始值，以5为公差的等差数列的前n项和 Sn。

算法上可以随便用：

算法1：迭代

• F(n) = F(n - 1) +5;

#include 
int func(int year){

    if(year == 1){

        return 5;

    }

    return func(year - 1) + 5;
}

int main(){

    int result = func(20);

    cout<return 0;
}

算法2：数学公式法

• 根据等差数列前n项和的数学求法:
  - Sn = n(a1 + an)/2
  - 因为这里我们只知道 an 以及 公差：5，并不知道n是多少，为此我们可以变换公式。
  - Sn = （an - a1）^2/2d

#include 
int func(int year){

    int result = (year - 5)*(year - 5)/10;

    return result;
}

int main(){

    int result = func(20);

    cout<<result<
    return 0;
}

说到这里，还有一个十分严重的问题：如果n = 21的时候呢？它的最初项会是5么？

简单验证一下：21 - 5 = 16 - 5 = 11 - 5 = 6；
显然最初项是6，那么还可以有一代的，6 - 5 = 1；

那么这样的话，前面的算法分析，是有错误的！！！

如何解决这个问题呢？

     - 既然我们不知道第一项究竟是多少，我们可以利用n来求出这个我们刚开始忽略的第一项
     - 第一项其实就是：n % 5 + 5
     - 项数其实就是： n / 5 -1

根据上面的分析再次修改上面的算法代码：

迭代法修改

#include 
int func(int year,int start){

    if(year == 1){

        return start;

    }

    return func( (year - 1) ,start) + 5;
}

int main(){

    int result = func(20 , 20 % 5 + 5);

    cout<return 0;
}

公式法修改

#include 
int func(int year,int start){

    int result = (year - start)*(year - start)/10;

    return result;
}

int main(){

    int result = func(20, 20 % 5 + 5);

    cout<return 0;
}