求两个相互分离凸包公切线的线性算法

求两个相互分离凸包公切线的线性算法

转载自：http://www.cnblogs.com/sudoleo/archive/2010/07/22/1783326.html

 

《算法艺术与信息学竞赛》 刘汝佳 习题3.2.8

平面上有两个凸多边形A和B，相互分离且都不退化，求A和B的4条公切线。O(n^2)的算法是很显然的，但你能否有线性的做法呢？进一步地，联想本节读过的凸多边形判断形内形外的特殊性，能否尝试更快的算法？

设凸多边形A和B的上外公切线为（Ai,Bj），切点分别为Ai和Bj，可知：A和B均在上外公切线（Ai,Bj）的右侧。进一步，“凸多边形A在（Ai,Bj）的右侧”等价于“Ai_next和Ai_pre均在（Ai,Bj）的右侧（或其中一个在右侧，另一个共线）”，简单起见，定义Ai_next为“Ai的next方向的顶点中第一个不与（Ai,Bj）共线的顶点”，同理Ai_pre，Bj_next，Bj_pre。“（Ai,Bj）是凸多边形A和B的上外公切线”这一命题等价于“Ai_next，Ai_pre，Bj_next，Bj_pre均在（Ai,Bj）的右侧”。 

 

伪代码：

up_left = a[i]; // 取凸多边形A上任一点a[i]，初始边的起点
up_right = b[j]; // 取凸多边形B上任一点b[j]，初始边的终点

while ( 1 )
{
left_next = a[up_left_next]; // 凸多边形A上顶点up_left的next方向上第一个不与(up_left, up_right)共线的顶点
left_pre = a[up_left_pre]; // 凸多边形A上顶点up_left的pre方向上第一个不与(up_left, up_right)共线的顶点
right_next = b[up_right_next]; // 同
right_pre = b[up_right_pre]; // 同

if ( left_next 在 (up_left, up_right) 右侧 )
if ( left_pre 在 (up_left, up_right) 右侧 )
if ( right_next 在 (up_left, up_right) 右侧 )
if ( right_pre 在 (up_left, up_right) 右侧 )
break ; // (up_left, up_right)是上外公切线，结束
else up_right = right_pre;
else up_right = right_next;
else up_left = left_pre;
else up_left = left_next;
}

 

算法的复杂度是O(n)，实际上，初始边的选择能提高算法的实际执行效率。

例如，左侧凸多边形A最右面的点作为初始边的始点，右侧凸多边形B最左面的点作为初始边的终点；
又如，求上外公切线的结果，作为求内公切线的初始边猜测，两条内公切线的下侧的点，又可以作为下外公切线初始边的始点和终点。这样猜测得到的初始边经过较少次数的“摆动”就可以得到结果。

 算法并未经大量实验验证，欢迎指正。求更好的算法。