[BZOJ5276] Skyfall & [CF235E] Number Challenge [莫比乌斯反演]

Link
BZOJ - https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5276
Codeforces - http://codeforces.com/contest/235/problem/E

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Description
$$\sum _{i=1}^A\sum _{j=1}^B\sum _{k=1}^{C}d(ijk)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{2}^{30}$$

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怎么没有背景小故事鸭
$$\begin{array}{rcl}\sum _{i=1}^A\sum _{j=1}^B\sum _{k=1}^{C}d(ijk)& =& \sum _{i=1}^A\sum _{j=1}^B\sum _{k=1}^C[(i,j)=(j,k)=(k,i)=1]\lfloor \frac{A}{i}\rfloor \lfloor \frac{B}{j}\rfloor \lfloor \frac{C}{k}\rfloor \\ & =& \end{array}$$
这个 $[(i,j)=(j,k)=(k,i)=1]$ 有点骚啊，好像没办法化掉
多一个求和就多出了两个 gcd ，那少掉一个不就可以。。。
这种时候就要考虑万能的大力枚举了（
暴枚 $i$
$\sum _{i=1}^A\lfloor \frac{A}{i}\rfloor \sum _{j=1}^B\sum _{k=1}^C[(j,k)=1][(i,j)=1][(i,k)=1]\lfloor \frac{B}{j}\rfloor \lfloor \frac{C}{k}\rfloor$
$\sum _{i=1}^A\lfloor \frac{A}{i}\rfloor \sum _{j=1}^B\sum _{k=1}^C[(j,k)=1][(i,jk)=1]\lfloor \frac{B}{j}\rfloor \lfloor \frac{C}{k}\rfloor$
$\sum _{i=1}^A\lfloor \frac{A}{i}\rfloor \sum _{j=1}^B\sum _{k=1}^C[(i,jk)=1]\sum _{d|(i,j)}\mu (d)\lfloor \frac{B}{j}\rfloor \lfloor \frac{C}{k}\rfloor$
$\sum _{i=1}^A\lfloor \frac{A}{i}\rfloor \sum _{d=1}^{\min (B,C)}\mu (d)\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{B}{d}\rfloor }\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{C}{d}\rfloor }[(i,d^{2}jk)=1]jk$
$\sum _{i=1}^A\lfloor \frac{A}{i}\rfloor \sum _{d=1}^{\min (B,C)}\mu (d)\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{B}{d}\rfloor }[(i,dj)=1]\lfloor \frac{B}{dj}\rfloor \sum _{k=1}^{\lfloor \frac{C}{d}\rfloor }[(i,dk)=1]\lfloor \frac{C}{dk}\rfloor$
预处理 $gcd$ 和 $mu$ 并且枚举 $i,d$
复杂度是 $O(n^2\log n)$ 。枚举 $i$ 和 $d$ 是 $O(n^2)$ 的，最后部分的复杂度是调和级数。
可以过 cf 但是并不能过 bzoj 。（如果你是超小常数选手请无视
那怎么办啊？
右转 [SDOI2018] 旧试题。

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另一种做法
$\sum _{i=1}^A\sum _{j=1}^B\sum _{k=1}^{C}d(ijk)$
仍然枚举 $i$ 。考虑把后面两个合起来？
$\sum _{i=1}^A\sum _{j=1}^{BC}\left(\sum _{u=1}^B\sum _{v=1}^C[uv=j]\right)d(ij)$
显然可以 $O(A\min (B,C))$ 预处理中间那个。设为 $f(j)$ 。
$\sum _{j=1}^{BC}f(j)\sum _{i=1}^{A}d(ij)$
看起来有点丑啊，重写一下字母 $\sum _{i=1}^{AB}f(i)\sum _{j=1}^{C}d(ij)$
大力套路一波
$\sum _{i=1}^{AB}f(i)\sum _{j=1}^C\sum _{u|i}\sum _{v|j}[(u,v)=1]$
$\sum _{i=1}^{AB}f(i)\sum _{j=1}^C\sum _{u|i}\sum _{v|j}\sum _{d|(u,v)}\mu (d)$ 这可属实劲爆、、不对吧
回去。这里枚举约数显然不是这么暴力套路展开。
$\sum _{i=1}^{AB}f(i)\sum _{j=1}^{C}d(ij)$ 这个什么都看不出来
$\sum _{i=1}^{AB}f(i)\sum _{j=1}^C\sum _{u|i}\sum _{v|j}[(u,v)=1]$ 有事可搞
$\sum _{u=1}^{AB}\sum _{v=1}^C[(u,v)=1]\lfloor \frac{C}{v}\rfloor \sum _{d=1}^{\frac{AB}{u}}f(ud)$
把最后那个东西记为 $g(u)$ 。发现预处理要 O(n²ln n) 那就再见吧再见吧
剩下的推倒

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PS:CF tutorial提到了一种dp的做法 复杂度。。。

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O(n^2logn)
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int MAXN = 5005;
const long long MOD = 1 << 30;
int A, B, C, D, E, F;
int Mu[MAXN], PrimeList[MAXN], Gcd[MAXN][MAXN];
bool NotPrime[MAXN];
int gcd(const int& a, const int& b)
{
     
	if (Gcd[a][b]) return Gcd[a][b];
	if (!b) return (Gcd[a][b] = Gcd[b][a] = a);
	return Gcd[a][b] = Gcd[b][a] = gcd(b, a%b);
}
void Init()
{
     
	NotPrime[0] = NotPrime[1] = 1; Mu[0] = 0, Mu[1] = 1;
	for (register int t, i = 2; i <= E; ++i)
	{
     
		if (!NotPrime[i])
		{
     
			PrimeList[++PrimeList[0]] = i;
			Mu[i] = -1;
		}
		for (register int j = 1; j <= PrimeList[0] && (t = i * PrimeList[j]) <= E; ++j)
		{
     
			NotPrime[t] = 1;
			if (!(i % PrimeList[j])) {
      Mu[t] = 0; break;}
			Mu[t] = -Mu[i];
		}
	}
	for (register int i = 2; i <= A; ++i)
	{
     
		for (register int j = 2; j <= F; ++j)
		{
     
			if (!Gcd[i][j]) gcd(i, j);
		}
	}
}
long long Summy(const int& i, const int& N, const int& d)
{
     
	register long long Ret = 0;
	const int Lim = N / d;
	for (register int dk = d, k = 1; k <= Lim; ++k, dk += d)
	{
     
		if (i==1 || (d==1&&k==1) || Gcd[i][dk]==1)
		{
     
			Ret += N / dk;
			(Ret >= MOD) ? (Ret -= MOD) : 0;
		}
	}
	return Ret;
}
int main()
{
     
	scanf("%d%d%d", &A, &B, &C);
	D = min(B, C);
	E = max(max(A, B), C);
	F = (D == B) ? C : B;
	Init();
	register long long Ans = 0, Tmp;
	for (register int i = 1; i <= A; ++i)
	{
     
		Tmp = 0;
		for (register int j = 1; j <= D; ++j)
		{
     
			Tmp += Summy(i, B, j) * Summy(i, C, j) % MOD * Mu[j];
		}
		Ans += Tmp * (A / i) % MOD;
		if (Ans >= MOD) Ans -= MOD;
	}
	printf("%I64d", Ans);
	return 0;
}