bzoj4407 于神之怒加强版

题目链接：bzoj4409
题目大意：
给N,M,K。求

∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)kmod(109+7)

多组数据
1<=N,M,K<=5000000,1<=T<=2000
时限80s，空间512M

题解：
莫比乌斯反演
设 gcd(i,j)=d
则原式看成 ∑ni=1∑mj=1dk
交换枚举约数和倍数

∑d=1min(n,m)∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊md⌋dk[gcd(i,j)=1]

莫比乌斯反演一下

∑d=1min(n,m)dk∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊md⌋∑t|(i,j)μ(t)

继续交换枚举约数和倍数

∑d=1min(n,m)dk∑t=1min(⌊nd⌋,⌊md⌋)∑i=1⌊ndt⌋∑j=1⌊mdt⌋μ(t)

即

∑d=1min(n,m)dk∑t=1min(⌊nd⌋,⌊md⌋)⌊ndt⌋×⌊mdt⌋×μ(t)

too naive的我看到80s时限化到这里就直接敲代码了
预处理 dk 的前缀和、 μ 的前缀和然后分两次块什么的
于是完美TLE。估计排队的人骂死我
[后知后觉：。。。原来我当成T≤20来算时间了

瞄了一眼别人的题解
还要继续套路下去啊。
换元，设 T=dt
则原式化为

∑T=1min(n,m)⌊nT⌋×⌊mT⌋∑d|Tdkμ(Td)

设函数 f(T)=∑d|Tdkμ(Td) ,即 f=Idk∗μ
单位幂函数 Idk 与莫比乌斯函数 μ 都是积性函数
根据积性函数的性质， f 也是积性函数
考虑线性筛把 f 搞出来

• 若 i 为质数，则 f[i]=μ(1)∗ik+μ(i)∗1=ik−1
• 若 i 为合数，
  
  • 若 i与prime互质 ，则 f[i∗prime]=f[i]∗f[prime]
  • 若 i与prime不互质 ，据 μ 的定义，含平方因子的 μ 值为0可得， f[i∗prime]=f[i]∗primek …当我在口胡= =看dalao的吧戳我

然后预处理埋它的前缀和
那么

Ans=∑T=1min(n,m)⌊nT⌋×⌊mT⌋×f(T)

此时再分块就好了求就好啦

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
#define N 5000100

const LL mod=1000000007;
LL f[N];bool ispri[N];int cnt,K,pri[N/10];
int mymin(int x,int y){return (xint t)
{
    LL ret=1;
    while (t)
    {
        if (t&1) ret=(ret*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;t>>=1;
    }return ret;
}
void pre(int lim)
{
    cnt=0;f[1]=1;
    for (int i=2;i<=lim;i++)
    {
        if (!ispri[i]) {pri[++cnt]=i;f[i]=(qpow((LL)i,K)-1+mod)%mod;}
        for (int j=1;j<=cnt && i*pri[j]<=lim;j++)
        {
            ispri[i*pri[j]]=true;
            if (i%pri[j]==0)
            {
                f[i*pri[j]]=f[i]*qpow((LL)pri[j],K)%mod;
                break;
            }f[i*pri[j]]=(f[i]*f[pri[j]])%mod;
        }
    }
    for (int i=2;i<=lim;i++) f[i]=(f[i-1]+f[i])%mod;
}
int main()
{
    int T,lim,n,m,i,r;LL ans;
    scanf("%d%d",&T,&K);
    lim=5000000;pre(lim);
    while (T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);ans=0;
        if (n>m){int tt=n;n=m;m=tt;}
        for (i=1;i<=n;i=r+1)
        {
            r=mymin(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=(LL)(n/i)*(LL)(m/i)%mod*(f[r]-f[i-1])%mod;
            ans%=mod;
        }
        if (ans<0) ans+=mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}