数论 —— 莫比乌斯反演

【反演】

假设我们手头有个数列 F，通过某种变换 H，可以得到函数 G。，即：

但现在只有函数 G，需要求 F，那么我们就需要寻找一种变换 ，使得 G 在经过这种变换后能够获得 F，这个过程即为反演，即：

【整除分块】

对于式子：，其时间复杂度为 O(n)，当有多组数据时，O(n) 并非正确的时间复杂度，此时有一种时间复杂度为 O(√n) 的算法：整除分块

对于每一个  通过打表发现，很多  的值是相同的，它们呈一个块状分布，对每一个值相同的块，它的最后一个数是：

有时候，可能式子不一定是一个裸的整除分块，可能会与某些积性函数相乘，这时就需要对这些函数统计一个前缀和。因为，每当我们使用整除分块跳过一个区间的时候，其所对应的函数值也跳过了一个区间，所以就需要乘上那一个区间的函数值

实现

int res=0;
for(int left=1,right;left<=n;left=right+1){
    right=n/(n/left);
    res+=(righr-left+1)*(n/left);
}

对于式子：，其时间复杂度为 O(n^2)，同样可以使用整除分块的做法来降低时间复杂度

int res=0;
int minn=min(n,m);
for(int left=1,right;left<=minn;left=right+1){
    right=min(n/(n/left),m/(m/left));
    res+=(righr-left+1)*(n/left)*(m/left);
}

【莫比乌斯函数】

1.定义

其中对于  的情况，，且  均为互质素数

简单来说，其满足以下几点：

• 定义域：N
• 当 d 为 1 时：μ(1)=1
• 当 d 是偶数个不同素数之积时：μ(d)=1
• 当 d 是奇数个不同素数之积时：μ(d)=-1
• 当 d 是素数时：μ(d)=-1
• 当 d 存在平方因子时：μ(d)=0

2.性质

• 莫比乌斯函数 μ(d) 为积性函数：μ(d) 可以线性筛
• 对于任意正整数 n，有：，当且仅当 n=1 时计数的函数，可用于求 (i,j)=1 的问题
• 对于任意正整数 n，有：，其中  为欧拉函数

3.实现

1）普通筛

int mu[N];
void getMu(){
    for(int i=1;i

2）线性筛

int mu[N];
int prime[N];
bool bprime[N];
int cnt;
void getMu(int n){//线性筛求莫比乌斯函数
    cnt=0;
    mu[1]=1;//根据定义，μ(1)=1
    memset(bprime,false,sizeof(bprime));

    for(int i=2;i<=n;i++){//求2~n的莫比乌斯函数
        if(!bprime[i]){
            prime[++cnt]=i;//存储质数
            mu[i]=-1;//i为质数时，μ(1)=-1
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){//枚举i之前的素数个数
            bprime[i*prime[j]]=true;//不是质数
            if(i%prime[j])//i不是prime[j]的整数倍时，i*prime[j]就不会包含相同质因子
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];//mu[k]=mu[i]*mu[prime[j]]，因为prime[j]是质数，mu值为-1
            else{
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;//留到后面再筛
            }
        }
    }
}

【莫比乌斯反演】

对于一些函数f(n)，很难直接求出其值，但容易求出约数和或倍数和g(n)，那么可以通过莫比乌斯反演来求得f(n)

莫比乌斯反演的题目通常能转化为(x,y)=1的计数问题，即用f(n)表示某一范围(x,y)=n的数对数量,g(n)表示某一范围内n|(x,y)的数对数量。

1.形式1

 和  是定义在非负整数集合上的两个函数，那么有：

• 
• 

2.形式2

 和  是定义在非负整数集合上的两个函数，且满足条件：

那么：

【例题】

1. 约数研究（洛谷P1403）(整除分块)：点击这里
2. Sky Code（POJ-3904）(莫比乌斯反演+组合数)：点击这里
3. 完全平方数（HYSBZ-2440）(莫比乌斯函数应用+二分)：点击这里
4. GCD（HDU-1695）(莫比乌斯反演+容斥)：点击这里
5. YY的GCD（洛谷-P2257）(莫比乌斯反演+整除分块)：点击这里
6. ZAP-Queries（洛谷-P3455）(莫比乌斯反演+整除分块)：点击这里
7. Problem b（BZOJ-2301/HAOI-2011）(莫比乌斯反演+整除分块+容斥)：点击这里
8. 能量采集（HYSBZ-2005）(莫比乌斯反演+整除分块两次)：点击这里
9. Crash的数字表格（HYSBZ-2154）(LCM 的莫比乌斯反演)：点击这里
10. 算术（HDU-6715）(LCM 的莫比乌斯反演)：点击这里
11. Number Challenge（CF-235E）(约数个数的莫比乌斯反演+GCD打表)：点击这里
12. Easy Math（2018 ACM-ICPC 徐州赛区网络赛 D）(杜教筛+递归)：点击这里