Gym-101982D （假的）数位dp

链接中的D题

题意

问在$[0,2^b-1]$中为k的倍数的数的二进制表达中1的个数。

思路

• $g[i][j]$表示前i位的数中模k为j的数的1的个数，答案为$g[b][0]$

第i位数有两种情况，为0的时候$g[i][j]=g[i-1][j]$，为1的时候则1的来源分为两种，前i-1位提供的和第i位提供的。前i-1位提供了$g[i-1][j]$个1，然后前i-1位中有多少个数模k等于j就为第i位提供了多少个1，此时这个数比i-1位的时候多了$2^i$所以他对k的模数变成了$(j+2^i)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k$，所以转移方程为$g[i][(j+2^i)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k]=g[i-1][j]+前i-1位模k为j的数的个数$。

• $f[i][j]$表示前i位模k为j的数的个数

同样讨论第i位数的两种情况，为0的时候$f[i][j]=f[i-1][j]$，为1的时候这个数模k的余数变成了$(j+2^i)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k$，所以转移方程为$f[i][(j+2^i)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k]=f[i-1][j]$

因此g数组的转移方程变为了$g[i][(j+2^i)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k]=g[i-1][j]+f[i-1][j]$

代码

#include 
const long long mod = 1e9 + 9;
int k, b, t = 1;
long long f[200][1000], g[200][1000];
int main() {
     
    scanf("%d%d", &k, &b);
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= b; ++i) {
     
        for (int j = 0; j < k; ++j) {
     
            f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j]) % mod;
            g[i][j] = (g[i][j] + g[i - 1][j]) % mod;
            f[i][(j + t) % k] = (f[i][(j + t) % k] + f[i - 1][j]) % mod;
            g[i][(j + t) % k] = (g[i][(j + t) % k] + g[i - 1][j] + f[i - 1][j]) % mod;
        }
        t = (t << 1) % k;
    }
    printf("%lld\n", g[b][0]);
    return 0;
}