第一章 命题逻辑 1.1 命题与连接词

第一章 命题逻辑

1.1 命题与连接词

命题是能唯一判断真假的陈述句

判断一个语句是不是命题的关键是：

1. 语句必须是陈述句
2. 必须具有唯一真值

练习：

• 你太漂亮了！✘ （不是陈述句）
• 请勿吸烟 ✘ （此句为祈使句）
• x > 3 ✘ （真值不确定）
• 5200年人类将移居火星 ✔ （虽然我们现在不能确定其真值，但是到5200年其真值是可以唯一确定的。要与上一个情况区分开）
• 我正在说谎 ✘ （这是一个悖论，大家想啊，如果在说“我正在说谎”的时候说谎，那就相当于我没有说谎，这样就前后矛盾了）

以上我们讨论的例子都是 “主语 + 谓语”的形式。对于这种形式的命题我们称为简单命题，可用p,q,r等符号表示。

想必大家已经猜到了，由联结词连接的多个简单命题我们称作复合命题。常用的联结词（逻辑联结词）及相关的复合命题有以下5种：

1. 否定 “¬”
就是真变假，假变真。例如p: 这些都是学生。 注意¬p不是“这些都不是学生”而是“这些不都是学生”。其实，“不是”不一定能否定“是” ， 例如p： 此句是六字句。这是个真命题，而“此句不是六字句”也是个真命题。嘻嘻，神奇吧，感兴趣的同学可以去百度下阿契贝难题。

2. 合取 “∧”
相当于逻辑与，有假则假，全真才真。辨：p：张三和李四都是好学生 q ： 张三和李四是好基友。p命题是由∧连成的复合句。而q命题则是个简单句，“张三和李四”整体是个主语。

3. 析取“∨”
相当于逻辑或，有真则真，全假才假。对于或的种类我们可以分为
1.可兼并或
2.不可兼并或。
例如：p：我喜欢吸烟或喝酒或烫头（三种状态可同时存在，故可兼并） q：有的人死了或者活着（这两种状态不可同时存在，故不可兼并）
我们知道不可兼并不可同时为真，但是显然p∨q这个表达式不能告诉我们p和q不能同时为真。那怎么办？别急，你看这两个表达式 （p ∧¬q）∨（¬p∧q），（p∨q）∧¬ (p∨q) 。就将当p，q同时为真时表达式为真的情况给剔除掉了。不信你代进去试试。

注意：“他今晚AC了20道题或30道题”此处的或表示大约的意思，不能用析取。

4. 蕴含“→”

剩下两个相比之前三个可能要生疏一点。p→q的意思是“如果p，则q”你也可以这样想由蕴含式前件p可推出蕴含式后件q。由小充分大必要可知，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
下图为p→q的真值表（1为真，0为假）

p q	p→q
0 0	1
0 1	1
1 0	0
1 1	1

注意： 这里只有当1→0时命题为假。解析如下：

• 0→0：从p以外区域可以推得q以外的区域。故为真。
• 0→1：从p以外区域可以推得q以内的区域。故为真。
• 1→0：从p以内的区域不可以推得q以外的区域。故为假。
• 1→1：从p以内的区域可以推得q以内的区域。故为真。

练习：请符号化下列命题
p：天下雨 q：我回家

• 只要天下雨，我就（一定）回家
  p→q

• 只有天下雨，我才（可能）回家
  q→p

• 除非天下雨，否则我就（一定）不回家
  ¬p→¬q 也可以写成他的逆否形式q→p
  注：这里“除非”相当于“如果不”的意思

• 仅当天下雨，我才（可能）回家
  q→p
  发现没有，当脑补出括号里的词语你就能明白p与q的大小关系，从而决定他们在→的左边还是右边（左范围小，右范围大）

辨：

• 若/如果我努力，那么我会成功
  p $\to$ q
  注意这里不像“才可能”，“就一定” 很明确。可以是“那么可能”也可以是“那么一定”，所以之前的方法不适用，但我们发现“若/如果……那么/则”就是我们在定义中对p$\to$q的解释。故直接记做p $\to$ q即可。

5. 等价“↔”

p↔q的意思是“p当且仅当q”
真值表如下：

p q	p↔q
0 0	1
0 1	0
1 0	0
1 1	1

这个很好理解，既然p与q都已经完全等价了那肯定当他们的真假情况相同时才为真，对吧。

联结词的优先级由高到低分别是：（） ¬ ∧ ∨ → ↔

最后给大家几道练习题，大家自测一下掌握情况：
一，将下列自然语言形式化

• 如果天不下雨并且不刮风，我就去书店。
  p：天下雨 q：刮风 r：去书店
  （¬p∧¬q）→r

• 除非a能被2整除，否则a不能被4整除
  p：a能被2整除 q ：a能被4整除
  q→p

• 此时他要么在学习，要么在玩
  p：他在学习 q：他在玩
  （p∧¬q）∨（¬p∧q）

• 如果天不下雨，我们就去打球，除非开会
  p：天下雨 q：打球 r：开会
  ¬r→（¬p→q）

二，判断是否为命题

• x+5>6 ✘
• xy>0，当且仅当x和y都大于0 ✔

三，判断命题的真假

• 如果太阳从西边出来，那么地球自转✔
• 如果地球自转，那么太阳从西边出来✘
• 如果太阳从东边出来，那么地球自转✔
• 如果地球自转，那么太阳从东边出来✔
• 2+2=4当且仅当3是奇数✔
• 2+2=4当且仅当3不是奇数✘
• 2+2≠4当且仅当3是奇数✘
• 2+2≠4当且仅当3不是奇数✔

四，趣味题

“我爱你”的逆否命题是什么？

大家可能首先想到的是“你不爱我”，但是仔细一想不对啊！原命题和他的逆否命题的意思不一样啊！难道“我爱你”等价于“你不爱我”？ (*▼ｰ(｡-_-｡)画风不对，如何相爱。

其实是因为“爱”并没有在“我”和“你”之间的表示某种肯定或否定的关系，所以把“我爱你”这个命题说完整是“我是爱你的人”正确的逆否命题是“你不爱的人不是我”。哈哈，现在又相信爱情了吧。