无损联接分解
定义：无损联接分解是将一个关系模式分解成若干个关系模式后，通过自然联接和投影等运算仍能还原到原来的关系模式，则称这种分解为无损联接分解。
可还原
例1：关系模式：成绩（学号，姓名，课程号，课程名，分数）
函数依赖：学号->姓名，课程号->课程名， （学号，课程号）->分数
若将其分解为下面三个关系模式：
成绩（学号，课程号，分数）
学生（学号，姓名）
课程（课程号，课程名）
问，这样的分解是无损分解么？
----
由于：学号->姓名，所以：
成绩（学号，课程号，分数，姓名）
由于：课程号->课程名，所以：
成绩（学号，课程号，分数，姓名，课程名）
所以这个例子是无损分解
例2：设R=ABCDE, R1=AD,R2=BC,R3=BE,R4=CDE, R5=AE, 设函数依赖：
A->C, B->C, C->D, DE->C, CE->A. 判断R分解成
ρ={R1, R2, R3, R4, R5}是否无损联接分解？
解：
这样的题要通过画表的方法来解，首先，原始表：
|
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
|
AD
|
a1
|
b12
|
b13
|
a4
|
b15
|
|
BC
|
b21
|
a2
|
a3
|
b24
|
b25
|
|
BE
|
b31
|
a2
|
b33
|
b34
|
a5
|
|
CDE
|
b41
|
b42
|
a3
|
a4
|
a5
|
|
AE
|
a1
|
b52
|
b53
|
b54
|
a5
|
表1
(A B C D E是关系R的属性， AD, BC, BE, CDE, AE 是分解之后每一个关系对应的属性集)
填表的过程：
当横竖相交的时候，如果在分解关系中存在对应列的单个的属性（譬如第一列第一行AD与A相交的单元格，AD含有A，就填写a1），则填写a下标 ， 下标就是单元格对应所在的列号。否则填写b下标， 下标是单元格对应所在的行列号。
填写之后的初始表就是表1所示
2.根据依赖关系修改原始表：
对于依赖关系A->C，看A列中有两行a1是相等的（第一行和第五行），所以在C列中对应的两行也应该相等，但是看到这两行都是b（b13，b53），所以将这个b都换成b13（上面的较小的标）
|
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
|
AD
|
a1
|
b12
|
b13
|
a4
|
b15
|
|
BC
|
b21
|
a2
|
a3
|
b24
|
b25
|
|
BE
|
b31
|
a2
|
b33
|
b34
|
a5
|
|
CDE
|
b41
|
b42
|
a3
|
a4
|
a5
|
|
AE
|
a1
|
b52
|
b53àb13
|
b54
|
a5
|
对于依赖BàC, 同样的道理，看B这一列中，第二行和第三行都是a2,那么对C这一列同样的操作，但是看到C这一列中第二行是a3，那么就将第三行改成a3，优先级比b要高。
|
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
|
AD
|
a1
|
b12
|
b13
|
a4
|
b15
|
|
BC
|
b21
|
a2
|
a3
|
b24
|
b25
|
|
BE
|
b31
|
a2
|
b33àa3
|
b34
|
a5
|
|
CDE
|
b41
|
b42
|
a3
|
a4
|
a5
|
|
AE
|
a1
|
b52
|
b13
|
b54
|
a5
|
对依赖CàD，C列的1，5行相等，D的1，5行也应该相等，D的第1行有a，所以b54换成a4；另外C列的2，3，4行也相等，D的2，3，4行也应该相等，D的第4行有a，所以将对应的行都换成a4
|
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
|
AD
|
a1
|
b12
|
b13
|
a4
|
b15
|
|
BC
|
b21
|
a2
|
a3
|
b24àa4
|
b25
|
|
BE
|
b31
|
a2
|
a3
|
b34àa4
|
a5
|
|
CDE
|
b41
|
b42
|
a3
|
a4
|
a5
|
|
AE
|
a1
|
b52
|
b13
|
b54àa4
|
a5
|
对于DEàC, DE公共的相等的行是3，4，5行，对应C的3，4，5行也应该相等，故将C列的两个的b13换成a3，所以表格经过这个函数依赖关系，就是：
|
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
|
AD
|
a1
|
b12
|
b13àa3
|
a4
|
b15
|
|
BC
|
b21
|
a2
|
a3
|
a4
|
b25
|
|
BE
|
b31
|
a2
|
a3
|
a4
|
a5
|
|
CDE
|
b41
|
b42
|
a3
|
a4
|
a5
|
|
AE
|
a1
|
b52
|
b13àa3
|
a4
|
a5
|
对于CEàA, CE的公共行是3，4，5行，所以将A的3，4，5行也对应相等，因为A列的第五行含有a1，所以将3，4行的b31,b41都换成a1
最终得到的表格就是：
最后，我们从表格里看到对于DE行来说，都是a，所以得出结论，题中的分解是无损联接分解
********************
无损分解的一个简便的判别方法（适用于分解成2个关系的情况）
譬如：
有关系R=ABC, 依赖关系{A-->B}那么下面哪个是无损分解：
A. {R1(AB),R2(AC)}
B.{R1(AB),R3(BC)}
首先看选项A，R1∩R2=A，R1-R2=B，R1U R2-->(R1-R2).所以它是无损分解
选项B， R1∩R2=B, R1-R2=A, R2-R1=C,
所以它不是无损分解
那么这里快速判断无损分解的方法就是
对两个集合先求集合的∩，然后求集合的差(2个集合有两个差的结果)
如果集合的∩-->集合的差（得到差结果的任意一个）成立那么就是无损分解
本文出自 “李骥平” 博客，请务必保留此出处http://fsjoy.blog.51cto.com/318484/137130