星星之火-6：无线通信必须知道的“信号”与傅里叶信号变换

1. 什么是信号？

电信号：是指随着时间而变化的电压或电流，在数学描述上可将它表示为时间的函数，并可画出其波形，称为电信号。

电信号的形式是多种多样的，可以从不同的角度进行分类。

1.1 根据信号的随机性：可以分为确定信号和随机信号；

(1) 确定信号：

是指可以用明确的数学关系或者图表描述的信号。若电信号被表示为一确定的时间函数，对于指定的某一时刻，可以确定一相应的函数值，这种信号被称为确定性信号。

确定信号是时间的某种函数，规律，如线性函数，指数函数，对数函数，sin函数，cos函数等等，

确定函数，有一个显著的特征：在特定的函数规律下，可以算出任意时间点t时信号的幅度值。

---

(2) 随机信号：

信号的幅度与时间没有明确的关系对应关系，但服从一定统计规律的信号，称为不确定信号，又称为随机信号。

随机信号的幅度与时间没有对应的规律，给定一个任意时间，无法预知或推测出信号的幅度值。

---

1.2.  根据信号的连续性：可以分为连续时间信号和离散信号；

在电子线路中将信号分为模拟信号和数字信号。

(1) 连续信号：

在整个连续时间范围内都有数值的信号，是时间连续信号或连续时间信号(continuous time signal)，简称连续信号。

(2) 离散信号：

是在连续信号上采样得到的信号。离散信号是一个序列，即其自变量是“离散”的。这个序列的每一个值都可以被看作是连续信号的一个采样。离散信号，在时间轴上是不连续的的信号。

---

1.3.  根据信号的周期性：可分为周期信号和非周期信号

(1) 非周期信号：

是电信号瞬时幅值不随随时间变化而重复变化的信号。

 

(2) 周期信号：

是周期信号瞬时幅值随时间重复变化的信号。

x（t）=x（t+kT），k=1，2......

式中t表示时间，T表示周期。

周线信号的特征:

• 幅度的变化，与时间的变化，有一个确定的规律，这个规律就是函数。
• 幅度的变化，随时间的变化，是重复出现的，这个重复的时间长度，就为周期。

符合上述特征的常见函数或信号有：

三角信号、脉冲信号、方波信号以及它们的整流、微分、积分。

其中，三角信号（正弦与余弦）是自然界最基本的信号！

其他信号，包括模拟周期信号、数字方波信号、还有非周期信号，都可以由不同频率的三角信号叠加而成的。

自然界中有“基本粒子”，其他物质，都是由不同的基本粒子构成的。

在各种信号中，基本信号是“波“，各种频率的无线电磁波电波。实际上，电磁波是“基本粒子”能量传播特性。

---

1.4 无线通信中的载波信号

• 确定信号，而不是随机信号
• 连续信号，而不是离散信号
• 周线信号，而不是非周期信号
• 正弦或余弦信号，而不是方波信号或脉冲信号。

因此，有必要先拆解一下这个“基本”的信号。

---

2. 基本的单元信号的产生

2.1 晶体震荡器，三角信号的产生

 

2.2 三角信号的频率特性

只有一个固定的频率f。

---

2.3 三角信号的时域波形

• 载波信号的电流或幅度随时间周期性变化。
• 这种变化符合波的特性。

周期T：信号重复幅度重复的时间，周期越长，变化越慢，周期越短，变化越快。

频率f：就是单位时间1s内，出现重复波形性波形的个数。即单位时间内完成周期性变化的次数。频率越低，变化越慢，频率越高，变化越快。

波长λ：是指波在一个振动周期内传播的距离。波长λ等于波速v和周期T的乘积，即λ=VT ,电磁波速度=光速=3*10^8米/s。

T = 1/F

比如，

频率f=1Hz，波形个数n=1， 周期T=1s

频率f=1KHz，波形个数n=10^3， 周期T=1ms

频率f=1GHz，波形个数n=10^6， 周期T=1us

频率f=10GHz，波形个数n=10^7， 周期T=100ns

频率f=1THz，波形个数n=10^9， 周期T=1ns

 

函数表达：x（t）=x（t+kT），k=1，2......为周期数，T为周期长度，t为时间。

很显然，这种数学描述方式不太方便。

 

• 描述波的幅度变化的函数或规律为正弦或余弦函数。

载波信号符合正弦或余弦函数的变化规律，可以通过三角函数来描述这种周期信号。

 

3. “粒子”的圆周运动与基本的三角函数

基本“粒子”的圆周运动，在不同方向的投影观察，产生了“基本波”，这就是“波粒二向性”。

3.1  圆

圆是自然界最理想的、最普遍的周期图形，三角函数就是从圆开始的。

圆：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆

圆本身没有周期、角度、频率的概念，圆只有原点O,  半径R，直径D，周长C、面积S等几何特性。周长C = 2πR。

然后，沿着圆周的匀速运动就形成了周期！！长度的周期为周长.

---

3.2  圆周的匀速运动

距离L = V * T， 如果速度恒定，运行的距离就是以周长为周期，以时间为自变量的周期函数。

 虽然是周期函数，但距离与t的函数关系是线性关系：

---

3.3 圆的角度匀速旋转运动

钟表的运动就匀速周期旋转运动。

 

但钟表的重复周期是时间t本身，

如果圆周上的某个点的角度θ为自变量，其在x轴与y轴上的投影为因变量，就得到了三角函数。

---

3.4 圆与三角函数

三角函数是基本初等函数之一。

是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，其在x轴与y轴上的投影为因变量的函数，称为三角函数。可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。

三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的最基础数学工具之一。

在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

（1）三角函数原始的角度表示

x  = r*cosθ = cosθ  //半径r=1, 即单位圆

y =  r*sinθ = sinθ   //半径r=1, 即单位圆

此时的三角函数的因变量是角度θ，θ的周期是360°。

---

（2）三角函数的弧度表示

然而，单元圆的周长为2π，这称为弧度。

弧度与角度有一一对应的关系：某一个角度，就对应某一个弧度。

至此，就可以得到三角函数的弧度表示

a  = cosx   //x为弧度，周期为2π

b =  sinx   //x为弧度，周期为2π

 

（3）三角函数的角速度表示法

ω为匀速旋转的角速度，即单位时间旋转的角度。

θ = x = ωt    //t是时间，角度θ 随着时间的推移，而变化。

于是得到三角函数：

a  = cosωt      //t是时间

b =  sinωt      //t是时间

 

至此，圆周上的一个点P，通过匀速的角速度在圆周上旋转运动，其在x轴和y轴上的投影的幅度，随时间t变化的函数：余弦与正弦函数。

 

（4）三角函数的频率表示法

频率f ：单位时间1s内，出现重复波形性波形的个数。

由于每个波形的弧度周期是2π，因此单位时间内选择的角度为2πf

角速度：单位时间1s内，角度的变化大小。

于是角速度ω=Φ/t=2π/T=2πf，角度与频率的关系是ω=2πf，时线性关系。

载波电信号的电压幅度或电流强度随时间t变化的规律，符合三角函数规律。

其中频率是影响这个规律的可调参数。

a  = cos（2πf*t）      //t是时间，cos：点P在单位圆上的旋转时，其幅度在x轴上的投影的规律，就是cos函数

b =  sin（2πf*t）       //t是时间， sin：点P在单位圆上的旋转时，其幅度在y轴上的投影的规律。就是sin函数

a和b时候同一个点P在x轴与y轴的投影，因此sinx与cosx实际上是相与关联的，满足一定的关系

 

• 旋转的角度相同

余弦函数的角度=正弦函数的角速度=圆周旋转的角速度

在任何时刻，三者的角速度是相同的。

• 初始角度相差90°，即π/2。

由于旋转的角度度相同，实时角度也是相差90°。

cos（ωt- π/2） ＝ -sinα

sin（ωt + π/2）＝ cosα

• 合成与分解关系：

a^2 + b^2 = c^2 => 

也就是说，y = f (ωt) = 1的单位圆函数，可以分解成a=sin（ωt）和b=cos（ωt）函数。

或者说a=sin（ωt）和b=cos（ωt）可以合成一个单位圆。

 

（4）三角波形的特性：幅度、频率、初始相位

s（t）= A cos(2πf * t + θ）

A：幅度，f：频率，θ：初始相位

• 同频、同向、不同幅度的三角波形

 

• 同频、同幅度、不同初始相位波形

• 相同幅度，不同频率的电磁波

这是自然界的不同频率的电磁波的频谱图

也是不同频率的“基本信号”！！！

电磁波的频率由“基本粒子”的旋转运行的速度和其半径共同决定。

在旋转半径一定的情况下，速度越快，旋转一周所需要的时间越短，频率越高，能量越大。

在旋转速度一定的情况下，半径越小，旋转一周所需要的时间越短，频率越高，能量越大。

因此，单位幅度的能量与频率的关系：E=hf,   E是能量，h是普朗克常数，f是频率。

在旋转频率一定的情况下，半径越大，旋转一周所需要的时间相同，但旋转的距离越多，功能越大。

而半径，就是电磁波的幅度！！！

 

（5）电磁波信号的叠加

在无线通信中，单一频率的信号，只出现在载波信号上，

而现实世界的实际信号，无论在幅度，还是内含的频率上，都是复杂的，不是单一的信号。

实际上，无论是现实的周期信号，还是现实的非周期信号，都是有无数个不同频率的单一频率波叠加而成。

S1（t）= sin（2π*f*t）

S2（t）= 1/2*sin（2π*3f*t）

S3（t）= sin（2π*f*t）+ 1/2*sin（2π*3f*t）

这里得到一个神奇的现象，两个周期性的单频率信号S1（t）与S2（t），叠加后，得到了另一个种周期信号！

实际上，方波信号就是有无数个基本的单频率周期信号叠加而来的！

 

那么其他周期信号呢？非周期信号呢？

答案是肯定的！任何信号，都是由无数基本频率信号按照一定的方式叠加而成！！！

比如20ms的语音信号！

这是电磁频率谱的另一个神奇之处！！！

如何用数学的方法来解释呢？

这就需要用到一个神奇的、强大的、数学工具：傅里叶级数

这是学习无线通信无法绕过去的神奇、强大的、数学工具！

 

正所谓，这个世界的本源其实很简单，

但把简单的事，重复做，按照各种方式组合叠加，就得到了复杂的大千世界！

 

3.周期信号的内在构成：傅里叶级数

对周线信号的研究，开始于欧拉，发扬光大于傅里叶，理论化于伯努利。

（1）欧拉得出一个结论：复合信号某一时刻的波形，是基带信号与其谐波分量的叠加，那么在任意时刻也是基带信号与其谐波分量的叠加，且复合信号也是周期信号，复合信号的周期，就是基波信号的周期。

（2）傅里叶预言：任何周期函数，都可以使用具有谐波关系的正弦函数来表达！

且复合信号的周期，就是基波信号的周期。

符号信号周期内部的形状，取决与谐波分量的权重系数与谐波分量的个数！

谐波的含义谐波是指信号中所含有的频率为基波频率的整数倍的频率量，由于谐波频率与基波频率是整数关系。

因此，复合信号内包含1个基波信号，N个N次谐波分量. N=1,3.5,......

 

（3）伯努利的数学表达：

案例分析：

傅里叶级数巨大的贡献就是：把任何周期信号，分解成了有基本信号（sin或cos）组成，每个基本信号对最终复合信号的影响取决于其权重Ak，还给出了权重系数的算法：

 

4.非周期信号内在构成：傅里叶级数

傅里叶把非周期信号的周期扩展到无穷大，这样非周期信号也就是“周期信号了”

 

 

5. 不同信号之间的变换

（1）模拟信号到数字信号：ADC（采样、量化、编码）

奈奎斯特采样定理是模拟信号与数字信号的桥梁。

（2）数字信号到模拟信号：DAC

 

6. 信号的携带：信号调制

（1）模拟=》模拟：模拟调制

（2）数字=》模拟：数字调制

（3）模拟=》数字：ADC/DAC

（4）数字=》数字：扩频、脉冲调制