C++解决背包问题

感谢https://blog.csdn.net/Hearthougan/article/details/53869671

只许选一次的背包 –– 0-1背包

问题描述:

有$N$个物品和一个容量为$S$的背包，第$i$件物品的重量是$w[i]$，价值是$v[i]$。在每种物品只许放一次，不可拆分，不超过背包容量的前提下，问如何才能让背包的总价值最大。

思路:

我们将$f[i][j]$定义为在前$i$个物品里做出选择，使容量为$j$的背包价值最大。

对于第$i$件物品，有两种情况:

1.放物品$i$，此时$f[i][j]=f[i-1][j-w[i]]+v[i]$
2.不放物品$i$，此时$f[i][j]=f[i-1][j]$

综上所述，本题的状态转移方程为：$f[i][j]=maxf[i-1][j-w[i]]+v[i]，f[i-1][j]$。

伪代码如下：

for 1...n
    for w[i]...s
        f[i][j]=max{
     f[i-1][j-w[i]]+v[i]，f[i-1][j]}

这个思路时间上是最优的，但是空间可以优化到$O(V)$。

毕竟$f[i][j]$只跟上一行有关系，那么我们可以试试只用一维数组去储存。

这种方法可不可行？可行，但是$j$要逆向枚举，因为旧数据不能被覆盖。

因为$f[j]$依赖于$f[j-w[i]]$（旧数据哦），如果正向枚举的话，$f[j-w[i]]$就已经被新数据覆盖掉了，就有可能已经选入了物品i！（别忘了$f[i][j]$是指在前i个物品里做出选择）

也就是说，原先的$f[i-1][j-w[i]]$已经被覆盖了，现在里面装的是$f[i][j-w[i]]$。这时极有可能已经选中了物品$i$，如果这次物品$i$还被选中的话，物品$i$就被选中了两次，违背了0-1背包的限制！

因此，为了不违背0-1背包的限制，我们必须逆向枚举。

优化后的伪代码如下:

for 1...n
    for s...w[i]
           f[j]=max{
     f[j-w[i]]+v[i],f[j]}

例题：

开心的金明

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1~5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j1...jk，则所求的总和为：v[j1]*w[j1]+..+v[jk]*w[jk]。

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

【输入格式】
输入的第1行，为两个正整数N,M，用一个空格隔开：（其中n（n<30000）表示总钱数，m(m<25)为希望购买物品的个数。）

从第2 行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有2个非负整数v，p
（其中v 表示该物品的价格（v≤10000），p 表示该物品的重要度（1~5）） 

【输出格式】
输出只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（<100000000）。

【输入样例】
1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2
【输出样例】
3900

代码：

#include
#include 
using namespace std;
struct thing {
     
   int v,p;
} want[30];
long long c[10010],d[10010];
int main() {
     
   int n,m;
   cin>>n>>m;
   for(int i=1; i<=m; i++) {
     
       cin>>want[i].v>>want[i].p;
   }
   for(int i=1; i<=m; i++) {
     
       for(int j=n; j>=want[i].v; j--) {
     
           c[j]=max(c[j],c[j-want[i].v]+want[i].v*want[i].p);
       }
   }
   cout << c[n] << endl;
   return 0;
}

可以选无数次的背包 –– 完全背包

问题描述：

有$N$个物品和一个容量为$S$的背包，第$i$件物品的重量是$w[i]$，价值是$v[i]$。在每种物品有无限个，不可拆分，不超过背包容量的前提下，问如何才能让背包的总价值最大。

此题和0-1背包问题很像，所以可以在0-1背包的基础上做一定的修改就可以了。

想想看，0-1背包在哪里阻止了重复选择物品的可能？

当然是$j$的循环这个地方！

那么，我们直接把$j$的循环这个地方改成正序（可能重复装入物品，正好满足要求）不就可以了吗？

完整代码如下（找不到例题QAQ）

#include
#include
using namespace std;
struct thing {
      
   int v,p;
} want[30];
long long c[10010];
int main() {
      
    int n,m,;    
    cin>>n>>m;    
    for(int i=1; i<=m; i++) {
      
          cin>>want[i].v>>want[i].p;    
    }    
    for(int i=1; i<=m; i++) {
             
        for(int j=want[i].v;j<=n; j++) {
               
            c[j]=max(c[j],c[j-want[i].v]+want[i].p);       
          }   
     }    
     cout << c[n] << endl; 
     return 0;
}

数量有上限的背包 –– 多重背包

问题描述：有$N$个物品和一个容量为$S$的背包，第$i$件物品的重量是$w[i]$，价值是$v[i]$，上限是$c[i]$。在不可拆分，不超过背包容量的前提下，问如何才能让背包的总价值最大。

此题和0-1背包问题也很像，所以也可以在0-1背包的基础上做一定的修改。

我们可以直接加一个循环，从0到上限枚举物品个数，伪代码如下：

for 1...n 
   for s...w[i]  
       for 0...c[i]
         if j>=w[i]*k
          f[j]=max{
     f[j-w[i]*k]+v[i]*k,f[j]}

例题：

庆功会

为了庆祝班级在全校运动会上取得全校第一名的成绩，班主任决定开一场庆功会，为此拨款购买奖品犒劳运动员。期望拨款金额能够买最大值的奖品，可以补充他们的精力和体力。
【输入格式】
第一行两个数n（≤500），m（≤6000），分别代表奖品种数和拨款金额。
接下来n行，每行三个数v，p，s，分别代表奖品价格，价值和能够买到的最大数量，其中v≤100，p≤1000，s≤10。
【输出格式】
一个数，表示此次购买能获得的最大价值。
【输入样例】
5 1000
80 20 4
40 50 9
30 50 7
40 30 6
20 20 1
【输出样例】
1040

#include
#include
using namespace std;
struct thing {
      
  int v,p,s;
} want[30];
long long c[10010];
int main() {
      
  int n,m;       
  cin>>n>>m;      
  for(int i=1; i<=m; i++) {
     
             cin>>want[i].v>>want[i].p>>want[i].s;        
  }        
  for(int i=1; i<=n; i++) {
      
     for(int j=m;j>=want[i].v; j--) {
     
         for(int k=0;k<=want[i].s; k++){
     
              if(j >=k*want[i].v)
                 c[j]=max(c[j],c[j-k*want[i].v]+k*want[i].p);      
        }          
     }       
  }          
  cout << c[m] << endl;      
  return 0;
}

附：
0-1背包空间和时间都最优的代码

#include 
#include 
using namespace std;
int main(){
     
    int n,s,f[100],w,v;
    cin>>n>>s;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        cin>>w>>v;
        for(int j = s; j >= w[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j-w]+v);
    cout<<f[s]<<endl;
    return 0;
}

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