卡特兰数列（出站序列统计）

问题描述

栈是常用的一种数据结构，有n个元素在栈顶端一侧等待进栈，栈顶端另一侧是出栈序列。你已经知道栈的操作有两种：push和pop，前者是将一个元素进栈，后者是将栈顶元素弹出。现在要使用这两种操作，由一个操作序列可以得到一系列的输出序列。请你编程求出对于给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n，经过一系列操作可能得到的输出序列总数。
输入
就一个数n(1≤n≤15)。
输出
一个数，即可能输出序列的总数目。
样例输入
3
样例输出
5

问题分析

常规分析（循环递归）

首先设f(n)为序列个数为n的出栈顺序序列数，先假定最后出来的元素为k,则在k入栈前有f(k-1)种情况，在k出栈前有f(n-k)种情况，由于前k-1项与后n-k项相互独立，则用乘法定理可得最后出来的元素为k的情况有f(k-1)f(n-k)种；而k可以从1~n，所以f(n)=f(0)f(n-1)+f(1)f(n-2)...+f(n-1)f(0)；

源代码

#include
int f(int n)
{
    int sum=0;
    if(n==0||n==1) return 1;
    else{
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            sum+=f(i-1)*f(n-i);
        }
    }
    return sum;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    printf("%d",f(n));
}