视觉slam爬坑——高翔深蓝学院——第三讲——李群与李代数

刚了5天的李群和李代数，发现对前面变换矩阵还是没理解全，又回去补充了上一篇博客，有需要的请链接
https://blog.csdn.net/weixin_38593194/article/details/85234607
现在感觉理解些了，一遍写一边整理思路。
我们先说观感再说具体的学习内容
观感就是
1、还是要学c++，模板类。模板类里是类、继承、重载、模板这几个c++使用特性的混合应用，忘了基础的补补基础，看C++书上内容挺简单的，实际用起来很难，找C++ primer第六版或者上一篇博客的c++链接补充下吧。
2、李群和李代数比较抽象，不做这块的话之前应该很少有相关方面经验的，重点关注以下几个问题：

1. 为什么李群要转换成李代数计算？有什么优势？
2. 为什么引入指数和对数映射？跟李代数和李群又是什么关系？
3. 为什么引入指数和对数映射？跟李代数和李群又是什么关系？
4. 扰动模型和实际运动过程中四元数和三维向量的关系？以及编程的时候怎么表达？

下面是要学习的内容

（1）本节内容

1、李群和李代数基础 2、指数与对数映射 3、扰动模型 4、Sophus库使用说明

（2）需要的基础知识

能把上节旋转矩阵和变换矩阵相关的吃透就可以了

（3）开发环境

编译平台：ubuntu16.04，
编译软件：IDE：Clion 编译器：Cmake 语言标准：C++11

（4）学习内容

引入李群和李代数是解决什么样的相机位姿符合当前的观测数据，即求解最优R，t。使误差最小化的问题。
旋转矩阵有一定的约束性（正交且行列式为1），他们作为优化变量的时候会引入额外的约束，通过李群和李代数的转换关系，将位子估计变成无约束的优化问题

1、群的定义
为什么引入李群这种东西，旋转矩阵R和变换矩阵T不是可以表示机器人的旋转和平移特性吗？
首先给群下个不完全的定义：群是为了描述满足一类性质的矩阵的集合。满足三维旋转矩阵定义和性质的构成特殊正交群SO(3)、满足变换矩阵定义和性质的构成特殊欧式群SE(3)
他们两个的定义如下：

正式定义：

ps:这里对群的定义是针对SO3和SE3的特定的，只要满足一种集合加上一种运算的代数结构都可为群，例如{Z,+}也为群，但不是李群了
同时请思考为什么旋转矩阵的加法为什么不是群？
首先什么是旋转矩阵来着？旋转矩阵要满足下面性质：

行列式为1，且是正交矩阵，不存在R1+R2或者T1+T2还满足这个性质，但是存在R1R2或者T1T2还满足这个性质的（可以看作做了两次旋转）。
2、那么李群是什么？
李群是指具有连续（光滑）性质的群。像整数群 Z 那样离散的群没有连续性质，所以不是李群。而 SO(n) 和 SE(n)，它们在实数空间上是连续的。我们能够直观地想象一个刚体能够连续地在空间中运动，所以它们都是李群。由于 SO(3) 和 SE(3) 对于相机姿态估计尤其重要，我们主要讨论这两个李群。
2、李代数
前边一直逼逼叨叨说的李代数是什么鬼？
我是这么理解的：相机在三维空间中是连续的旋转或者变换的，而我们SLAM目的就是优化求解相机的这个最佳的位姿T（变换矩阵）。它观测到一个惯性坐标系下点p产生了一个观测数据z，z是相机坐标系下的坐标，则可得到z=Tp+w，w是观测噪声（误差），w=z-Tp。
机器人的位姿估计就转变成寻找一个最优的T使得整体的误差最小化

优化方法一般都采用迭代优化的方法，每次迭代都更新一个位姿的增量delta，使得目标函数最小。这个delta就是通过误差函数对T微分得到的。也就是说我们需要对变换矩阵T求微分（导数），我们先以SO(3)空间中的旋转矩阵 R为例来说说（T与R只差了一个平移，对T求到的过程平移可以看作常数），你觉得如何对R求微分呢？
貌似不可以直接对矩阵求微分吧。为什么呢？我们刚才讲过R构成的群叫做李群SO(3),R1+R2就不是SO(3)了，同样道理，这里变成R1+ΔR就不是SO(3)了，所以需要将SO(3)进行某种运算，一对一的转换成另一种对加法有封闭性的运算，才可以继续进行。
下面我们来推导李代数是怎么得出来的，既然不能对R导，那引入时间变量t。机器人运动中，t是连续的



经过这段推导得到给定某时刻的 R，我们就能求得一个 ϕ，它描述了 R 在局部的导数关系。起码我们可以证明R在局部对t是可导的。
其对t的导数，向量ϕ就是李代数，李代数可定义于李群的正切空间上，描述了李群中元素局部性质，分别把它们记作小写的so(3)和se(3)。
**问题又来了矩阵指数 exp(ϕ^) 如何计算？**这个留到后面讲
先给出李代数的定义，，，再不给不知到怎么讲了-_-!

3、李代数是什么
对于SO(3):

对于SE(3)
那我们正常情况下将平移和旋转结合到一起组成的变换矩阵T的群SE(3)的李代数是什么呢，用se(3)表示。
与so(3)相似，se(3)位于R6空间中。


接下来考虑第二个问题，exp(ϕ^)怎么算

4、指数与对数映射

注意，这里定义了的ϕ已经成为一个旋转向量了，忘记旋转向量定义的看十四讲-49页上半段文字。



那是不是每个旋转矩阵R都有唯一的旋转向量ϕ？在多转和360度里不是一对一运算的，但是将旋转角度固定的±Π，李群和李代数元素是一对一对应。

推导

最后总结三维旋转和三维变换中李群和李代数的关系

现在再回想我们为什么用李代数呢？是因为无法直接对变换\旋转矩阵求导——>那不能求导怎么办？引入时间变量t，无法对矩阵求导可以对t求导——>对t求导后解决什么问题呢？解决在局部连续的时间内对误差的线性优化问题。对，李代数的引入就是为了解决状态估计过程中的优化问题。

5、扰动模型
现在我们已经解决求导的问题了。两次连续的旋转可以用矩阵乘法来描述，但用李代数如何表示呢？

则两次连续的矩阵乘法可表示为：

我们自然是希望李群中两个矩阵相乘对应李代数上对应元素的相加，这样我们才能够利用加法来计算导数和进行更新。

但是这个公式并不成立

李代数求导分两种：
一种是用李代数表示位姿，然后根据李代数加法来对李代数求导。这种方法上面推导了，结果中有复杂的雅克比公式，不是很方便。
第二种，就是对李群进行左乘或者右乘微小的扰动，然后对该扰动求导。


第二行为泰勒展开社区高阶项后的近似。泰勒公式：
最后一行将反对称矩阵符号看作叉积，变换之后变号。

6、Sophus库使用
Pangolin是对OpenGL进行封装的轻量级的OpenGL输入/输出和视频显示的库。可以用于3D视觉和3D导航的视觉图，可以输入各种类型的视频、并且可以保留视频和输入数据用于debug。