离散数学精简笔记 ——《图论》
一.图的基本概念
图（graph） G：G=(V,E，γ)由顶点(vertex)集V和边(edge)集E，γ组成
无特殊说明n表示图G的定点数，m表示图G的边数，一边数为m的n阶图可简化为（n，m）-图
顶点（vertex） V ：或结点 ，|V|为G的阶，X阶图指的顶点个数
边（edge） E ：平常写作｛e1，e2……｝
函数（γ） ：为E到V的一个函数，有γ（e）=｛v1，v2｝，表示v1，v2顶点间的关系，γ通常表示线。即顶点间使用线（γ）来联系
邻接：若两个顶点之间有边存在，则称这两个顶点邻接
关联：若边的无序对（有序对）包含该节点，则称该顶点与这条边相关联。
度（degree）：节点的度指的是与节点v邻接的节点数。记作：deg(v)。（自环在计度时为2）
孤立点：度为0的节点。
端节点：度为1的节点（也叫做：叶子）
简单图：任意两个节点之间最多只能有一条边存在。
多重图：允许指定的两个节点之间存在两条及两条以上的边。
正则图：图中所有的节点有相同的度数。（r-正则图表示所有节点的度都是r）
无向图：边没有方向性。
有向图：边具有方向性。
完全图：完全图是一个简单的无向图，其中每对不同的顶点之间都恰连有一条边相连。
加权图：是一种赋予了边值的图，这些值称为权重或者成本。
入度：以顶点v为终点的边的数目，称为v的入度。
出度：以顶点v为始点的边的数目，称为v的出度。
度（有向）：有向图中的度为出度和入度之和。
最大度：所有节点的最大度数。
最小度：所有节点的最小度数。
欧拉定理（握手定理）： 图论基本定理，在任何图中，所有顶点度数的和等于边数的两倍。
推论：在任何图中，节点度的总和是一个非负偶数。
图的同构：
存在对图G1,G2中，V（顶点）与E（边）的双射。下面两图具有相同的性质，可看作左上红点拉入中间得到右图，各个颜色相同的点性质相同
子图：指节点集和边集分别是某一图的节点集的子集和边集的子集的图（原图删去一些边和节点）
真子图：这个节点子集或边子集是真子集（不允许什么都不删）
生成子图或称支撑子图：图G的每一个节点也是它的子图H的节点（保留全部节点，只删边）
导出子图：
（1）顶点导出子图：若V1⊆V(G)，则以V1为顶点集，以两个顶点均在V1中的边集组成的图，称为图G的顶点导出子图，记为G(V1)。
（2）边的导出子图：若E1⊆E(G),则以E1为边集，以E1中所有边的顶点为顶点集组成的图，称为图G的边的导出子图，记为G(E1)。
补图：图G的补图，通俗的来讲就是完全图Kn去除G的边集后得到的图Kn-G。
连通性
道路：两点之间可达的路径
回路：能回到起点的道路
简单路径（初级道路或初级回路）：其上的所有顶点都是互异的，但第一个顶点和最后一个顶点可能相同
定理：若简单图G中的每个顶点的度数都大于1，则G中存在回路
连通图：
（1）设图为无向图，如果图中任意两相异点之间都存在道路，则称为连通图
（2）设图为有向图，如果图中任意两相顶点之间都是可达的，则称为强连通。任意两顶点u和v，只有u到v或v到u则称为单向连通
桥（割边）：如果删除一边，使得图不再连通，则称该边为桥或割边
图的矩阵表示
有向图：
例：
性质：
- A中第i行元素之和为顶点vi的出度
- A中第i列元素之和为顶点vi的入度
无向图：
性质
- A是对称矩阵
- A中的第i行元素之和等于第i列元素之和，为顶点vi的度数