奈奎斯特稳定性判据的步骤(含详细推导)

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提示：本文只含有奈奎斯特判据的步骤，适合期末防挂科的同学，若想要透彻的了解奈奎斯特判据的原理，请参考文末的链接

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$$以开环传递函数G\left(s\right)H\left(s\right)=\frac{1}{s^2\left(s+1\right)}为例，利用奈奎斯特判据判断其稳定性$$

一、作出半闭合曲线

1.作出开环系统的奈奎斯特曲线

画出开环传递函数的奈奎斯特曲线如图：

关于绘制奈奎斯特曲线，大家可以参考我的这篇文章：
▷ 三种绘制奈奎斯特曲线的方法

2.补圆

若有(1/s)^v项，则以奈奎斯特曲线的起始位置为起点，逆时针画 v x 90° 半径无穷大的圆弧，但该圆弧的方向为顺时针

易得在本开环传递函数中 v=2，则画一个180°的半圆，半闭合曲线如图：

二、计算R的大小

R = 2(N+－N－)

▷R 表示开环系统 G(s)H(s) 顺时针绕点(-1,j0)的圈数，等价于1+G(s)H(s) 顺时针绕原点的圈数

▷N+ 表示点 (-1,j0) 左侧正穿越的次数（从上向下穿越）

▷N- 表示 点 (-1,j0) 左侧负穿越的次数（从下向上穿越）

系统中半闭合曲线与实轴交点在 (-1,j0) 左侧，并且为一次负穿越，没有正穿越。
故N+=0，N-=1，计算得

R = 2(N+－N－) = -2

三、判断Z是否为0

幅角原理：

R = P－Z

▷P为右半平面开环极点数

▷Z为右半平面闭环极点数

P为开环传递函数 G(s)H(s) 极点在右半平面的数量，通过幅角原理可以计算得到Z，判断Z是否为0，Z = 0 则表示闭环传递函数的极点全在虚轴左侧，则该系统稳定
$$在例G\left(s\right)H\left(s\right)=\frac{1}{s^2\left(s+1\right)}中，开环传递函数在右半平面没有极点，P=0$$

则 Z = P－R = 2

Z ≠ 0，则闭环传递函数在右半平面有极点，该系统不稳定

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当系统半闭合曲线出现下面的情况，怎么判断？

$$曲线只与实轴有交点，并没有穿过，记为\frac{1}{2}，其中N^{+}=\frac{1}{2}，N^{－}=\frac{1}{2}$$$$则R=2(N^{+}－N^{－})=0$$再结合题目中开环传递函数的极点即可判断其稳定性

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若想要透彻的了解奈奎斯特判据的原理，请参考以下链接：
控制理论–奈奎斯特稳定判据学习笔记