插值算法

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前言

数据较少时，难以进行模型的分析，这时候就需要插值。

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编程语言为matlab

一、插值是什么？

插值就是使用数学方法模拟构造新的值。常用于短期预测问题。
若有n+1个不同的节点（x_i，y_i），则存在唯一多项式（多项式次数一定）

一维插值
分段插值：分段多项式
三角插值：常用到傅里叶变换等复杂算法

拉格朗日插值法：使用较少，会有龙格现象（边缘波动大），高次插值要谨慎使用，误差可能增大。只有值相同，无法满足导数相同等要求

牛顿插值法：使用较少，具有继承性，只和前n项的值有关，在尾部添加新的项。也有龙格现象的问题。只有值相同，无法满足导数相同等要求

分段低次插值：使用较多，一次（线性）、二次（抛物）、三次。

诶尔米特插值（Hermite）：保证函数与导数都相同。

分段三次诶尔米特插值（PCHIP）：使用最多，解决了龙格现象。

三次样条插值：使用最多，曲线更光滑，要求二阶连续可微，每个子区间为三次多项式等

n维数据的插值：调用interpn函数，默认的method是线性插值（linear）。cubic：三次插值、spline三次样条插值、nearest：最邻近插值。

二、使用步骤

1.选择插值方法

分段三次诶尔米特插值（PCHIP）：调用pchip函数

x = -pi:pi; 
y = sin(x); 
new_x = -pi:0.1:pi;
p = pchip(x,y,new_x);

三次样条插值：调用spline函数

p2 = spline(x,y,new_x);

2.求平均

因为不知道数据生成的方法，所以可以使用多个方法求出插值后求平均

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总结

插值算法常用于短期预测问题，可以处理数据。可用于数据量较小的情况。拟合则需要的数据量较多，不要求一定经过这些点，保证精度即可。