高等数学复习笔记（一）- 高等数学基础知识、数列与函数的极限

本节为高等数学复习笔记的第一部分，主要包括：几个特殊的因式分解公式、二项式定理、夹逼准则、单调有界准则、洛必达法则以及几个常见的泰勒展开式的的应用。

1. 基础知识

  高等数学基础知识也就是高中的数学知识，详细的包括三角函数与反三角函数的图像、性质、特殊值，等差等比数列及其求和方式，三角函数的基本转换关系、诱导公式、倍角/半角公式、和差公式、万能公式、积化和差/和差化积公式等等，此处不再赘述，只对几个重要的因式分解公式做了笔记：

• $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+a{b}^{n-2}+b^{n-1})$
• $n为正偶数时，a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...+a{b}^{n-2}-b^{n-1})$
• $n为正奇数时，a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...-a{b}^{n-2}+b^{n-1})$
• $二项式定理：(a+b{)}^n={\Sigma }_{k=0}^n{C}_n^k{a}^k{b}^{n-k}，其中C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
• $(2n)!!=2\times 4\times 6\times ...\times (2n)=2^n\cdot n!，(2n-1)!!=1\times 3\times 5\times ...\times (2n-1)$

  一个常见的结论的证明，$"若f(x)同时关于x=a和x=b对称，则f(x)=f(x+T)，且T=2(b-a)，b>a"$，证明如下$“f(x)=f(a-(a-x))=f(a+(a-x))=f(b-(b-2a+x))=f(b+(b-2a+x))=f(2(b-a)+x)，得证”$。
  一个包含常用对数和e指数互换的手法的简单例题。
  $求函数y=f(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})的反函数f^{-1}(x)的表达式及定义域$
  $解：y=ln(x+\sqrt{x^2+1})，则有e^y=\sqrt{x^2+1}+x；令-y=-ln(x+\sqrt{x^2+1})，则有e^{-y}=\sqrt{x^2+1}-x。两式相减，得x=\frac{1}{2}(e^y-e^{-y})，则y=f^{-1}(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})，x\in (-\infty ,\infty )。$

2. 极限与连续

  2.1.关于夹逼准则的一个例题：
  $eg.lim\left(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+...+\frac{n}{n^2+n+n}\right)=()$
  $解：令N=\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+...+\frac{n}{n^2+n+n}，则N\le \frac{1+2+...+n}{n^2+n+1}=\frac{\frac{1}{2}(n+1)n}{n^2+n+1}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}，n\to \infty ，则N\le \frac{1}{2}；N\ge \frac{1+2+...+n}{n^2+n+n}=\frac{\frac{1}{2}(n+1)n}{n^2+2n}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}，n\to \infty ，则N\ge \frac{1}{2}。\therefore li{m}_{n\to \infty }N=\frac{1}{2}。$
  2.2.关于单调有界准则的一个例题：
  $eg.x_1>0,x_n{e}^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1,n=1,2,...，证明\{x_n\}收敛并求li{m}_{x\to \infty }{x}_n。$
  $解：根据拉格朗日中值定理(之后的笔记会提到)，x_1{e}^{x2}=e^{x_1}-1⟹e^{x_2}=\frac{e^{x_1}-1}{x_1-0}=f^{\prime }(\xi )=e^{\xi }，其中0<\xi <x_1，推出e^{x_2}<e{x}_1，即x_2<x_1。根据数学归纳法：(I)x_2<x_1成立；(III)设0<x_{n+1}<x_n；(III)e^{x_{n+2}}=\frac{e^{x_{n+1}}-e^0}{x_{n+1}-0}=e^{\eta }，其中0<\eta <x_{n+1}，即0<x_{n+2}<x_{n+1}。则\{x_n\}是单调减少数列且有下界⟹li{m}_{n\to \infty }{x}_n存在记为A，此时A{e}^A=e^A-1，令f(x)=x{e}^x-e^x+1，f^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x-e^x=x{e}^x，当x\ge 0时f^{\prime }(x)\ge 0，即f(x)在[0,+\infty ]上单调递增且f(0)=0为唯一零点，故A=0。$
  2.3.用于“$\frac{0}{0}$”和“$\frac{\infty }{\infty }$”型的洛必达法则{ ${\lim }_{x\to n}\frac{f(x)}{F(x)}={\lim }_{x\to n}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$右边项是左边项的必要条件}的一个例题：
  $li{m}_{x\to 0}\left(\frac{1}{si{n}^{2}x}-\frac{co{s}^{2}x}{x^2}\right)=li{m}_{x\to 0}\frac{x^2-si{n}^{2}xco{s}^{2}x}{x^{2}si{n}^{2}x}=li{m}_{x\to 0}\frac{x^2-\frac{1}{4}si{n}^{2}2x}{x^4}(x\sim sinx是等价无穷小)=li{m}_{x\to 0}\frac{2x-\frac{1}{4}2sin2x\cdot cos2x\cdot 2}{4x^3}=li{m}_{x\to 0}\frac{2x-sin2xcos2x}{4x^3}=li{m}_{x\to 0}\frac{2x-\frac{1}{2}sin4x}{4x^3}=li{m}_{x\to 0}\frac{2-2cos4x}{12x^2}=li{m}_{x\to 0}\frac{2(\frac{1}{2}(4x{)}^2)}{12x^2}(1-cosx\sim \frac{1}{2}{x}^2)=li{m}_{x\to 0}\frac{16x^2}{12x^2}=\frac{4}{3}。$
  2.4.几个常用的泰勒公式展开式：

• $sinx=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
• $cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$
• $arcsinx=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
• $tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
• $arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
• $ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
• $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
• $(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+o(x^2)$
    泰勒展开阶数的确定：对于$\frac{A}{B}$型，展开至上下同阶即可；对于$A-B$型，分别展开至系数不相等的x的最低次幂为止。看这个例子:$对于x-sinx，我们展开：x=x，sinx=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)，则x-sinx=\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)；对于x+sinx，先写为x-(-sinx)，展开：x=x，sinx=-x，即x+sinx=2x。$
    看一个例题：
    $x\to 0时，cosx-e^{-\frac{x^2}{2}}与a{x}^b为同阶无穷小，则cosx-e^{-\frac{x^2}{2}}=[1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)]-[1-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2!}\frac{x^4}{4}+o(x^4)]=-\frac{1}{12}{x}^4+o(x^4)，可得a=-\frac{1}{12}，b=4$。

---

欢迎扫描二维码关注微信公众号 深度学习与数学   [每天获取免费的大数据、AI等相关的学习资源、经典和最新的深度学习相关的论文研读，算法和其他互联网技能的学习，概率论、线性代数等高等数学知识的回顾]