【bzoj2005】 [Noi2010]能量采集 数学结论(gcd)

【bzoj2005】 [Noi2010]能量采集

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题目连接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2005

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的 能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

5 4

Sample Output

36

HINT

对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；
对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；
对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；
对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

题意

题解：

和之前做的某道题很类似，很显然的就能推出来，每一个点与(0,0)之间连线中有多少个点，就是gcd(x,y)

暴力搞一搞，可以拿80分

拿100分呢？我们就让f[i]表示gcd=i的个数，很显然，gcd的个数等于(n/i*m/i)再减去i的倍数就好啦

‘然后就类似DP一样，搞一搞就行了　

代码：

 

//qscqesze

#include <cstdio>

#include <cmath>

#include <cstring>

#include <ctime>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#include <set>

#include <vector>

#include <sstream>

#include <queue>

#include <typeinfo>

#include <fstream>

#include <map>

typedef long long ll;

using namespace std;

//freopen("D.in","r",stdin);

//freopen("D.out","w",stdout);

#define sspeed ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0)

#define maxn 200001

#define mod 10007

#define eps 1e-9

//const int inf=0x7fffffff;   //无限大

const int inf=0x3f3f3f3f;

/*

inline ll read()

{

    int x=0,f=1;char ch=getchar();

    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}

    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}

    return x*f;

}

int buf[10];

inline void write(int i) {

  int p = 0;if(i == 0) p++;

  else while(i) {buf[p++] = i % 10;i /= 10;}

  for(int j = p-1; j >=0; j--) putchar('0' + buf[j]);

  printf("\n");

}

*/

//**************************************************************************************



int gcd(int x,int y)

{

    return y==0?x:gcd(y,x%y);

}

ll f[maxn];

int main()

{

    ll n,m;

    cin>>n>>m;

    if(n<m)

        swap(n,m);

    ll ans=0;

    for(ll i=n;i;i--)

    {

        f[i]=(n/i)*(m/i);

        for(ll j=2*i;j<=n;j+=i)

            f[i]-=f[j];

        ans+=f[i]*(2*i-1);

    }

    cout<<ans<<endl;

}