【数学建模】2021美赛B题解题思路(森林大火及无人机布局)【含Matlab源码 247期】

Problem B：Fighting Wildfires…
在2019-2020的火灾季节，山火对澳大利亚的每个州都造成了毁灭性的影响，尤其对新南威尔士州和维多利亚州的东部影响最大。山火通常发生在严重的干旱和热浪加剧的时期。图1展示了2019年10月1日到2020年1月7日间的在这片区域的山火热力图，其中黄色表示山火持续在10月1日到1月6日，红色仅表示2020年1月7日活跃的山火。

消防人员多年来都使用无人机进行监视和态势感知（SSA）。SSA无人机携带的高清、热成像仪和遥测传感器可以监视和报告前线人员的可穿戴设备的数据。其中，可穿戴设备可用于人员定位和环境监测。SSA无人机用于监视现场不断变化的情况，使得紧急行动中心（EOC）可以更好地、更高效地、更安全地指导工作人员。

双向无线电通讯器允许地面的前锋部队向EOC发送状态数据报告，同时允许EOC直接向前锋部队下达命令。部署的人员携带着在VHF/UHF频段运行的手持式双向无线电设备。手持式无线电设备的工作范围受到其低发射功率（通常最大为5瓦）的限制，并且主要由“农村地区的距离和物理地形”或“城市地区的建筑地形”所决定，其中天气对VHF/UHF的影响很小。5瓦的无线电设备中平坦地区、无障碍的地面上标称范围为5公里，但在市区内只有2公里。
中继器是一种自动以较高功率重新广播信号的收发器，它可以扩展无线电的工作范围。位于前线和EOC之间的中继器可以将无线电信号从前线转播到EOC也可以从EOC转播到前线。同样的，中继器到工作范围也取决于距离和地形，但是远大于低功率的手持式无线电。

近来，携带中继器的可悬停式无人机已被用来极大地扩展前线的低功率无线电的工作范围。一个携带有“10瓦、重1.3千克的中继器”的无人机可以在远高于地面的高度达到20公里的工作范围。当WileE–15.2X原型无人机配备有无线电中继器或视频和遥测功能时，预计成本可达一万澳元。通过测试得知，无人机具有如表1所示的功能。

飞行距离：30公里
最高速度：20m/s
最长飞行时间：2.5小时
无人机内置电池充电时间：1.75小时
注意：无人机内置电池充电时，无线电、视频/遥测等辅助类等电池可以被更换
（言下之意，无人机内置电池不准拆卸，所以有“冷却”时间，需要回收回来充电，而摄像头、无线电等仪器等电池是可以拆卸，保证随时有电。而且，题目没说摄像头等仪器等续航时间，应该是能大于2.5小时的）

本文的要求如下：

为“CFA的新部门——山火应急响应部门”建立一个模型，用于购买最优数量比例的SSA无人机和无线电中继器无人机。该模型应该在考虑经济性的同时平衡其能力和安全性，同时也要考虑“侦查通讯任务需求”和“地形”。该模型还应将火灾事件的规模大小和频率作为参数。
说明你的模型是如何适应“未来十年极端山火事件”可能发生的变化？假设在无人机设备成本保持不变的情况下，预计哪些设备成本将会增加？
设计一个模型，以优化不同地形上的不同火情大小的VHF/UHF无线电中继器无人机的位置，如图2所示：东维多利亚地形图。注意，海拔范围指的是从海岸旁到海平面到Bogong山脉的1986米之间。
准备一份基于本文模型的带有注释的预算表格给CFA。
总述
题目所述有两类辅助仪器，一种是SSA探测器，用于监视地面部队的“定位”、“通信”和“人身安全”两个功能，另一种是中继器，用于扩展地面部队手持式无线电的通信范围。这两类仪器的功能是不能互相代替的。

另一方面，从题目中看出，无人机只能携带上述两类仪器中的一种，要么是携带SSA、要么是携带中继器。（原文：Akme Corporation’s prototype WileE–15.2X hybrid drone is projected to cost approximately $10,000 (AUD) when equipped with either a radio repeater or video & telemetry capability.一万澳元只能携带SSA或者只能携带中继器，否则，也不知道SSA或中继器的单价是多少。）

因此，本文的几个重点要素：
无人机、中继器、SSA、火情规模大小和频率、成本、地形。
（题目未限制地面部队的人员数量）

问题1：为“CFA的新部门——山火应急响应部门”建立一个模型，用于购买最优数量比例的SSA无人机和无线电中继器无人机。该模型应该在考虑经济性的同时平衡其能力和安全性，同时也要考虑“侦查通讯任务需求”和“地形”。该模型还应将火灾事件的规模大小和频率作为参数。
问题1主要需要考虑的是“在什么样的情况应该买多少无人机及仪器”。因此，可以将因变量设置为“SSA和中继器”，无人机不用列在公式里，因为有“SSA和中继器”必须配备一个无人机；而自变量就可以设置为“火情规模和频率”和“地形”；约束条件就可以设置为“成本”、“通讯需求”、“定位和监测等其他能力”。这样的话，我们就可以得到一个带有约束条件的规划问题。（也可以把SSA和中继器的成本看成目标函数）

火情规模越大，对人员的威胁越大，所以需要保证SSA能检测到每一位部队人员；而火情频率越高可能就需要通讯范围更大，以便随时协调人员位置、互相配合工作；
地形越复杂，对于信号干扰越强，所以需要更多的中继器（此处，应该需要额外建立一个“信号干扰模型”，用来模拟不同的地形环境对信号的影响大小，此类问题应该有论文阐述过了）；
还要考虑该片地区最大的火情范围是多少平方公里，购买的无人机总数量应该能覆盖所有可能发生火情的区域，即“饱和式”；
这样的话，就可以根据自变量与因变量的关系建立模型，同时参考约束条件找到最优解，类似于“图解法算线性规划问题”，在边缘处可能有多个解。

问题2：说明你的模型是如何适应“未来十年极端山火事件”可能发生的变化？假设在无人机系统的成本保持不变的情况下，预计哪些设备成本将会增加？
“极端山火可能发生的变化（how your model adapts to the changing likelihood of extreme fire events over the next decade）”可以理解为山火的“规模大小和频率”发生了变化。

因为，在规模大小和频率发生变化之后，对SSA和中继器的需求会发生变化，所以可能需要买更多的SSA和中继器。（题目只是要求控制成本，不一定是有金额限制，只是花钱越少越好而已）

所以，这个题可以试着分析一下澳洲这块区域的气候变化，看看近几十年的气候与火情是呈什么样的关系，然后预测一下未来十年的山火可能呈什么样的态势，得到未来十年的山火规模和频率后就能代入第一问的公式进行求解了。

所以主要是预测气候。

问题3：设计一个模型，以优化不同地形上的不同火情大小的VHF/UHF无线电中继器无人机的位置，如图2所示：东维多利亚地形图。注意，海拔范围指的是从海岸旁到海平面到Bogong山脉的1986米之间。
“优化无人机位置”，也就是说无人机的位置可以随着地形和火情的变化而调整。

地形对信号干扰越强，中继器无人机应该越密集，火情对无人机的影响同理。

其中，中继器的工作范围是以半价为单位，而地形的复杂会降低半价单位，所以“无人机位置-地形”模型可以据此着手建立；而火情规模大，就需要SSA保证部队人员的安全，起码要保证火情范围内的部队人员能被SSA覆盖，“无人机位置-火情”模型可以据此着手建立。

问题4：准备一份基于本文模型的带有注释的预算表格给CFA。
带有注释的预算表格没有特殊的格式规范，只要题目要求的内容都有就可以。（原文：Budget Request: A budget request is a business letter seeking funds for costs, expenses, and/or operating overhead for a project or department within an organization. An annotated budget request provides a justification or rationale for each requested item.）

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