欧拉函数、费马定理、欧拉定理

一、欧拉函数

思考：任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？

解：计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。

怎样求一个任意数的欧拉函数值？

其中（3）为欧拉函数的通用计算形式。

实现代码：

long phi(long n)
{
    long ans=n;
    for (long i=2; i*i<=n; i++) //寻找素数pi(任意一个正整数可以分解成唯一的质因数的乘积,所以从小到大的找，则符合条件的一定是素数)
    {
        if(n%i==0) //n能被i整除
        {
            n/=i;
            ans=ans-ans/i;//ans=ans*(1-1/i)
            while (n%i==0) //找出素数pi对应的指数是多少
            {
                n/=i;
            }
        }
    }
    if(n>1)
    {
        ans=ans-ans/n;
    }
    return ans;
}

可以用 poj2407来测试代码。

二、费马定理

如果p是素数并且a是不能被p整除的正整数，那么：

费马定理的另一种形式：

 如果p是素数，a是任意正整数，则对gcd(a,p)=1，有：

证明：

因为p是素数，所以a、p互素,所以集合{a，2a，3a，…，(p－1)a}在同余意义下等价于{1，2，3，…，(p－1)}（注：元素顺序可能不同）

所以a×2a×3a×…×(p－1)a≡1×2×3×…×(p－1) mod p，即(p-1)！a^(p-1)≡(p-1)！mod p，所以a^(p-1)≡1mod p，也即ap≡a mod p。

来看道例题：

三、欧拉定理

若整数a与整数n互素，则：

类似费马定理，欧拉定理的另一种表述也很有用( a和n不一定互素)：

如果n=p是素数，则有

显然，欧拉定理可以看成是费马定理的推广形式。

下面来看看一道例题：