HDU 2865 Birthday Toy

HDU_2865

    由于有相同颜色不能相邻这一限制，我们就需要用dp去计算burnside引理中的C(f)了。

    按常规套路来，先将N的约数找到，接着对于每个任意约数R，就可以找到循环节数量为R的置换数了，然后需要用dp计算出对于有R个循环节的置换下的“不动方案”的数量。

    首先，中间的圆圈的颜色是任意的，而且对于每种颜色而言“不动方案”的数量是一致的，也就是说中间的圆圈有K个颜色可选，而我们只需要计算任意一个情况就可以了，最后乘K就是总数。

    接下来小圆圈就剩下K-1个颜色可选了，而我们需要计算长度为R的一串珠子的合法方案数，所谓合法就是相邻的珠子不能同色，以及首尾珠子不能同色。这时第1个珠子有K-1个颜色可选，而且对于其选择任意一种颜色，最终的结果都是一样的，所以我们只需计算其中一种情况，最后乘以K-1就可以了。

    比如我第1个珠子选了黄色，那么在dp的时候就可以用f[i][1]表示第i个珠子是黄色的合法方案数，f[i][0]表示第i个珠子不是黄色的合法方案数，那么不难得到f[i][1]=f[i-1][0]，f[i][0]=(K-3)*f[i-1][0]+(K-2)*f[i-1][1]，最后的合法方案数就是f[R][0]，由于N比较大，我们可以用二分矩阵的方法加速求解过程。

    到此，C(f)已经计算出来了，接下来的工作就是求N的逆元并计算最终的结果了。

    另外推荐一个讲解得很详细的用dp计算Burnside中C(f)的一篇文章：http://hi.baidu.com/billdu/item/62319f2554c7cac9a5275a0d。

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#include<algorithm>

#define MAXD 40010

#define MOD 1000000007

using namespace std;

int N, K, isprime[MAXD], prime[MAXD], P, d[MAXD], D;

struct Matrix

{

    long long a[2][2];

    void init()

    {

        memset(a, 0, sizeof(a));

    }

}unit, mat;

Matrix multiply(Matrix &x, Matrix &y)

{

    int i, j, k;

    Matrix z;

    z.init();

    for(i = 0; i < 2; i ++)

        for(j = 0; j < 2; j ++)

        {

            for(k = 0; k < 2; k ++)

                z.a[i][j] += x.a[i][k] * y.a[k][j];

            z.a[i][j] %= MOD;

        }

    return z;

}

void prepare()

{

    int i, j, k = 40000;

    memset(isprime, -1, sizeof(isprime));

    P = 0;

    for(i = 2; i <= k; i ++)

        if(isprime[i])

        {

            prime[P ++] = i;

            for(j = i * i; j <= k; j += i)

                isprime[j] = 0;

        }

}

void divide(int n)

{

    int i;

    D = 0;

    for(i = 1; i * i <= n; i ++)

        if(n % i == 0)

        {

            d[D ++] = i;

            if(n / i != i)

                d[D ++] = n / i;

        }

    sort(d, d + D);

}

int euler(int n)

{

    int i, x, ans;

    ans = x = n;

    for(i = 0; i < P && prime[i] * prime[i] <= n; i ++)

        if(x % prime[i] == 0)

        {

            ans = ans / prime[i] * (prime[i] - 1);

            while(x % prime[i] == 0)

                x /= prime[i];

        }

    if(x > 1)

        ans = ans / x * (x - 1);

    return ans;

}

void powmod(Matrix &unit, Matrix &mat, int n)

{

    while(n)

    {

        if(n & 1)

            unit = multiply(mat, unit);

        n >>= 1;

        mat = multiply(mat, mat);

    }

}

void exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y)

{

    if(b == 0)

        x = 1, y = 0;

    else

        exgcd(b, a % b, y, x), y -= x * (a / b);

}

void solve()

{

    int i, j;

    long long x, y, ans = 0, n;

    divide(N);

    for(i = 0; i < D; i ++)

    {

        n = euler(N / d[i]);

        unit.init();

        unit.a[1][0] = 1;

        mat.a[0][0] = K - 3, mat.a[0][1] = K - 2, mat.a[1][0] = 1, mat.a[1][1] = 0;

        powmod(unit, mat, d[i] - 1);

        ans = (ans + ((n * K % MOD) * (K - 1) % MOD) * unit.a[0][0] % MOD) % MOD;

    }

    exgcd(N, MOD, x, y);

    x = (x % MOD + MOD) % MOD;

    ans = ans * x % MOD;

    printf("%lld\n", ans);

}

int main()

{

    prepare();

    while(scanf("%d%d", &N, &K) == 2)

    {

        solve();

    }

    return 0;

}