离散数学 第二类斯特林数 小白学习笔记

第二类Stirling数实际上是集合的一个拆分，表示将n个不同的元素拆分成m个集合的方案数，本文将其记为$$S(n,m)=\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right\}$$

求解S(n,m)的问题可以等价为解决以下问题：
将n个不同的球放入m个无差别的盒子中，要求盒子非空，有几种方案？

容易得到以下式子：

• $$\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right\}=0$$
• $$\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right\}=1$$
• $$\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right\}=1$$
• $$\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right\}=2^{n-1}-1;$$
• $$\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1}\right\}=C_n^2$$

这五个式子不足以求解，还需要下面的递推公式：
$$\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right\}=r\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{r}\right\}+\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{r-1}\right\}$$

如何理解这个公式呢？

1、我们先将n个球随机标记为1、2、3…n。

2、先将前n-1个球放入r个盒子。放置完成后有两种情况：
①每个盒子都有球
$$\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{r}\right\}$$
②只有一个盒子没有球。
$$\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{r-1}\right\}$$

3、再放第n个球
①每个盒子已经有球了，由于每个球都是不同的，这r个盒子每个都是独一无二的，所以需要乘以r
$$r\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{r}\right\}$$
②有一个空盒，那么第n个球只能放在这个空盒里 ，不需要再作运算
$$\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{r-1}\right\}$$
因此得出最后结果
$$\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right\}=r\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{r}\right\}+\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{r-1}\right\}$$
我觉得需要注意的点是：第n个球是随机得来的，没有任何特殊性，所以取球的过程是不需要运算的。

C语言实现：

long long Stirling2(int n,int m)
{
     
	if(n < m)
		return 0;
	if(!m)
		return 0;
	if(m == 1)
		return 1;
	if(m == n)
		return 1;
	if(m == 2)
		return (1 << (n - 1)) - 1;
	if(n == m + 1)
		return n * m / 2;
	return m * (Stirling2(n - 1,m)) + Stirling2(n - 1,m - 1);
}