第1组：方程与曲线
方程与曲线：2014年文科数学全国卷一题20
（20）（本小题满分12分）
已知点 ，圆 ，过点 的动直线 与圆 交于 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点.
（I）求 的轨迹方程;
（Ⅱ）当 时，求 的方程及 的面积
方程与曲线：2013年文科数学全国卷二题20
（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 中，已知圆 在 轴上截得线段长为 ，在 轴上截得线段长为 .
（I）求圆心 的轨迹方程;
（II）若 点到直线 的距离为 ，求圆 的方程.
方程与曲线：2014年理科数学湖北卷题21
21.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离比它到 轴的距离多 .记点 的轨迹为 .
（I）求轨迹 的方程;
(II)斜率为 的直线 过定点 ，求直线 与轨迹 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.
方程与曲线：2009年文科数学全国卷题20
20.（本小题满分12分）
已知椭圆 的中心为直角坐标系 的原点，焦点在 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7 和 1.
（I）求椭圆 的方程;
（Ⅱ）若 为椭圆 上的动点， 为过 且垂直于 轴的直线上的点， （ 为椭圆 C 的离心率），求点 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.
方程与曲线：2015年理科数学广东卷题20
20.（本小题满分14分）
已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点
（1）求圆 的圆心坐标;
（2）求线段 的中点 的轨迹 的方程;
（3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点? 若存在，求出 的取值范围; 若不存在，说明理由.
方程与曲线：2014年理科数学广东卷题20
20.（本小题满分14 分）
已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为
（1）求椭圆 的标准方程;
（2）若动点 为椭圆 外一点，且点 到椭圆 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
弦长和面积：2016年理科数学全国卷一题20
（20）（本小题满分12分）
设圆 的圆心为 ，直线 过点 且与 轴不重合， 交圆 于 两点，过 作 的平行线交 于点 .
（I）证明 为定值，并写出点 的轨迹方程;
（Ⅱ）设点 的轨迹为曲线 ，直线 交 于 两点，过 且与 垂直的直线与圆 交于 两点，求四边形 面积的取值范围.
方程与曲线：1987年全国卷题21
定长为 的线段 的两端点在抛物线 上移动，记线段 的中点为 ，求点 到 轴的最短距离，并求此时点 的坐标.
方程与曲线：2016年数学全国卷三题20（文理同题）
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交 于 两点，交 的准线于 两点.
（I）若 在线段上，R是 的中点，证明
（Ⅱ）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程.
第2组：抛物线和圆
直线与圆：2015年文科数学全国卷一题20
（20）（本小题满分12分）
已知过点 且斜率为 的直线 与圆 交于 两点.
（I）求 的取值范围;
（Ⅱ）若，其中 为坐标原点，求.
抛物线和圆：2008年文科数学海南卷题20
20.（本小题满分12分）
已知 ，直线 和圆
（I）求直线 斜率的取值范围;
（Ⅱ）直线 能否将圆 分割成弧长的比值为 的两段圆弧？为什么？
抛物线和圆：2017年理科数学全国卷三题20
20.（12分）
已知抛物线 过点的直线 交 于 两点，圆 是以线段 为直径的圆.
（1）证明∶坐标原点 在圆 上;
（2）设圆 过点，求直线 与圆 的方程.
抛物线和圆：2017年文科数学全国卷三题20
20.（12分）
在直角坐标系 中，曲线 与 轴交于 两点，点 的坐标为，当 变化时，解答下列问题∶
（1）能否出现 的情况？说明理由；
（2）证明过 三点的圆在 轴上截得的弦长为定值.
抛物线和圆：2011年文科数学全国卷题20
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 中，曲线 与坐标轴的交点都在圆 上.
（I）求圆 的方程;
（Ⅱ）若圆 与直线 交于 两点，且 ，求 的值.
第3组：椭圆
椭圆：2010年文科数学全国卷题20
20.（本小题满分12分）
设 分别是椭圆，的左、右焦点，过 的直线 与 相交于 两点，且 成等差数列.
（1）求 ;
（2）若直线 的斜率为 ，求 的值.
椭圆~定点问题：2017年理科数学全国卷一题20
20.（12分）
已知椭圆 ，四点 中恰有三点在椭圆 上.
（1）求 的方程;
（2）设直线 不经过 点且与 相交于 两点. 若直线 与直线 的斜率的和为 ，证明∶ 过定点.
椭圆：2013年数学全国卷一题21（文理同题）
（21）（本小题满分12分）
已知圆 圆 动圆 与圆 外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
（I）求C的方程;
（Ⅱ） 是与圆 ，圆 都相切的一条直线，与曲线 交于 两点，当圆 的半径最长时，求 .
椭圆：2014年数学全国卷二题20（文理同题）
（20）（本小题满分12分）
设 分别是椭圆，的左、右焦点， 是 上一点且 与 轴垂直. 直线 与 的另一个交点为
（I）若直线 的斜率为 ，求 的离心率;
（Ⅱ）若直线 在 轴上的截距为 ，且 ，求 .
椭圆：2010年理科数学全国卷题20
20.（本小题满分12分）
设 分别是椭圆，的左、右焦点，过 ，斜率为 的直线 与 相交于 两点，且 成等差数列.
（1）求 的离心率;
（2）设点 满足 求 的方程.
椭圆：2020年全国卷一题20 (12分)
已知 分别为椭圆 的左、右顶点， 为 的上顶点，. 为直线 上的动点， 与 的另一交点为 ， 与 的另一交点为 .
(1)求的方程；
(2)证明：直线 过定点。
椭圆：2020年全国卷三题20 (12分)
已知椭圆 的离心率为 ， 分别为 的左、右顶点.
（1）求 的方程；
（2）若点 在 上，点 在直线 上，且 ，求 的面积。
第4组：弦长与面积
弦长和面积：2018年数学全国卷二题20（文理同题）
20.（12分）
设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 两点，.
（1）求 的方程;
（2）求过点 且与 的准线相切的圆的方程.
弦长和面积：2014年理科数学全国卷一题20
（20）（本小题满分12分）
已知点 ，椭圆 的离心率为 , 是椭圆 的右焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点.
（I）求 的方程;
（Ⅱ）设过点 的动直线 与 相交于 两点.当 的面积最大时，求 的方程.
弦长和面积：2013年理科数学全国卷二题20
（20）（本小题满分12分）
平面直角坐标系 中，过椭圆 右焦点的直线 交 于 两点， 为 的中点，且 的斜率为
（I）求 的方程;
（Ⅱ） 为 上两点，若四边形 的对角线 ，求四边形 面积的最大值.
弦长和面积：2016年理科数学全国卷一题20
（20）（本小题满分12分）
设圆 的圆心为 ，直线 过点 且与 轴不重合， 交圆 于 两点，过 作 的平行线交 于点
（I）证明 为定值，并写出点 的轨迹方程;
（Ⅱ）设点 的轨迹为曲线 ，直线 交 于 两点，过 且与 垂直的直线与圆 交于 两点，求四边形 面积的取值范围.
弦长和面积：2016年理科数学全国卷二题20
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆 的焦点在 轴上， 是 的左顶点，斜率为 的直线交 于 两点，点 在 上，
（I）当 时，求 的面积;
（Ⅱ）当 时，求k的取值范围.
弦长和面积：2015年山东卷题20
（20）（本小题满分13分）
平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别是 .以 为圆心，以3为半径的圆与以 为圆心，以 为半径的圆相交，且交点在椭圆 上.
（I）求椭圆 的方程;
(II）设椭圆 ， 为椭圆 上任意一点过. 点P的直线 交椭圆 于 两点，射线 交椭圆 于点.
(i）求 的值;
（ii）求 面积的最大值.
第5组：两角相等
两角相等~抛物线：2015年理科数学全国卷一题20
（20）（本小题满分12分）
在直角坐标系中，曲线 与直线 交于两点.
（I）当时，分别求在点和处的切线方程;
（Ⅱ） 轴上是否存在点，使得当变动时，总有 ? 说明理由.
两角相等~抛物线：2018年文科数学全国卷一题20
20.（12分）设抛物线 ，点 ，过点 的直线 与 交于 两点.
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程;
（2）证明∶
两角相等~椭圆：2018年理科数学全国卷一题19
19.（12分）
设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为.
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程;
（2）设 为坐标原点，证明∶ .
两角相等~椭圆：2015年理科数学北京卷题19
（19）（本小题14分）
已知椭圆 的离心率为 ，点 和 都在椭圆 上. 直线 交 轴于点 .
（I）求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 表示）;
（Ⅱ）设 为原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 .问∶ 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 坐标;若不存在，说明理由.
第6组：圆锥曲线的弦及其中点
抛物线的弦：2017年文科数学全国卷一题20
20.（12分）
设 为曲线 上两点， 与 的横坐标之和为4.
（1）求直线 的斜率;
（2）设 为曲线 上一点， 在 处的切线与直线 平行，且 ，求直线 的方程.
椭圆的弦：2015年文科数学全国卷二题20
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上.
（I）求 的方程;
（Ⅱ）直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为 证明∶直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值.
椭圆的弦：2015年理科数学全国卷二题20
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆 ，直线 不过原点O 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为
（I）证明∶直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值;
（Ⅱ）若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，
四边形 能否为平行四边形? 若能，求此时 的斜率; 若不能，说明理由.
椭圆的弦：2018年文科数学全国卷三题20
20.（12分）
已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为 .
（1）证明∶ ;
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且
证明∶ .
椭圆的弦：2018年理科数学全国卷三题20
20.（12分）
已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为 .
（1）证明∶ ;
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且
证明∶ 成等差数列，并求该数列的公差.
抛物线的弦：2019年理科数学全国卷三题21（12分）
已知曲线 为直线 上的动点，过 作 的两条切线，切点分别为 .
（1）证明：直线 过定点；
（2）若以 为圆心的圆与直线 相切，且切点为线段 的中点，求四边形 的面积。
抛物线的弦：2019年理科数学全国卷一题19（12分）
已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 的交点为 ，与 轴的交点为 .
（1）若 ，求 的方程；
（2）若 ，求
第7组：向量与曲线
向量与曲线：2007年文科数学海南卷~19
19.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 中，已知圆 的圆心为 ，过点 且斜率为 的直线与圆 相交于不同的两点
（I）求 的取值范围;
（Ⅱ）是否存在常数 ，使得向量 与 共线？如果存在，求 值;如果不存在，请说明理由.
向量与曲线：2007年理科数学海南卷~19
19.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 中，经过点 且 斜率为k的直线l与椭圆 有两个不同的交点 和 .
（I）求 的取值范围;
（II）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ，是否存在常数 ，使得向量 与 共线？如果存在，求 值；如果不存在，请说明理由.
向量与曲线：2008年理科数学海南卷题20
20.（本小题满分12分）
在直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ; 也是抛物线 的焦点，点 为 与 在第一象限的交点，且.
（I）求 的方程；
（II）平面上的点 满足 ，直线 ，且与 交于 两点，若 ，求直线 的方程.
向量与曲线：2011年理科数学全国卷题20
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 中，已知点， 点在直线 上， 点满足 ， ， 点的轨迹为曲线 .
（I）求 的方程；
（Ⅱ） 为 上的动点， 为 在 点处的切线，求 点到 距离的最小值.
向量与曲线：2017年数学全国卷二题20（文理同题）
20.（12分）
设 为坐标原点，动点 在椭圆 上，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 .
（1）求点 的轨迹方程;
（2）设点 在直线 上，且 . 证明∶过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 .
第8组：圆锥曲线综合
抛物线和圆：2012年文科数学全国卷题20（文理同题）
（20）（本小题满分12分）
设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，为C上一点，已知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 两点.
（I）若， 的面积为 ，求 的值及圆 的方程；
（Ⅱ）若 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，求坐标原点到 距离的比值.
圆锥曲线综合：2016年文科数学全国卷一题20
（20）（本小题满分12分）
在直角坐标系 中，直线 交 轴于点 ，交抛物线 于点 ， 关于点 的对称点为 ，连接 并延长交 于点 .
（I）求 ;
（Ⅱ）除 以外，直线 与 是否有其他公共点？说明理由.
四点共圆：2014年数学大纲卷题21（文理同题）
（21）（本小题满分12分）
已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 轴的交点为 ，与 的交点为 ，且 .
（I）求 的方程;
（Ⅱ）过 的直线 与 相交于 两点，若 的垂直平分线 与 相交于 两点，且 四点在同一圆上，求 的方程.