牛顿法

---

如果要求解一个数的根，用什么方法比较好呢？我之前看到有人问这个问题，据说是谷歌的一道面试题，标准面试答案是使用二分法去逼近，直到达到规定的限制范围内。

---

但是其实最好的方法并不是二分法，至少牛顿法就比这种方法更好
牛顿法

首先，选择一个接近函数f(x)零点，计算相应的f(x0)和切线斜率f'(x0)这里
f'表示函数的导数。然后我们计算穿过点

并且斜率为

的直线和

轴的交点的

坐标，也就是求如下方程的解：

我们将新求得的点的{}

坐标命名为

，通常

会比

更接近方程

的解。因此我们现在可以利用

x_1

开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示：

x_{{n+1}}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}

已经证明，如果

f'

是 连续的，并且待求的零点

x

是孤立的，那么在零点

x

周围存在一个区域，只要初始值

x_{0}

位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果

f'(x)

不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

---

实现牛顿法

首先我们需要一个逼近函数，在一个条件下递归的逼近值，这里我选用Scheme去实现，因为它便于进行所谓** first class procedures **

(define tolorance 0.000001)

(define (fixed-point f first-guess)
  (define (close-enough? v1 v2)
    (< (abs(- v1 v2)) tolorance))
  (define (try guess)
    (let ((next (f guess)))
      (if (close-enough? guess next)
          next
          (try next))))
  (try first-guess))

由上面的介绍可以看到牛顿法有一步是需要求导数，这里我们求不了导数，但是我们可以求微分

(define dx 0.00001)

(define (derive g)
  (lambda (x)
    (/ (- (g (+ x dx)) (g x))
       dx)))

然后实现公式

(define (newton-transform g)
  (lambda (x)
    (- x (/ (g x) ((deriv g) x)))))

再将公式封装

(define (newtons-method g guess)
  (fixed-point (newton-transform g) guess))

最后我们用这个方法来试试求解一元三次方程等于0的值

(newtons-method (cubic a b c) 1)
(define (cube x) (* x x x))

(define (cubic a b c) 
  (lambda (x)
     (+ (cube x) (* a (square x)) (* b x) c)))

这个方法既实现了开根，又能实现一元方程的解。数学的问题，用数学方法去解决还是要好一些。