梯度消失、梯度爆炸

梯度消失、梯度爆炸以及Kaggle房价预测

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  1. 梯度消失和梯度爆炸
  2. 考虑到环境因素的其他问题
  3. Kaggle房价预测

梯度消失和梯度爆炸

深度模型有关数值稳定性的典型问题是消失(vanishing)和爆炸(explosion)。

当神经网络的层数较多时,模型的数值稳定性容易变差。

假设一个层数为 L L L的多层感知机的第 l l l H ( l ) \boldsymbol{H}^{(l)} H(l)的权重参数为 W ( l ) \boldsymbol{W}^{(l)} W(l),输出层 H ( L ) \boldsymbol{H}^{(L)} H(L)的权重参数为 W ( L ) \boldsymbol{W}^{(L)} W(L)。为了便于讨论,不考虑偏差参数,且设所有隐藏层的激活函数为恒等映射(identity mapping) ϕ ( x ) = x \phi(x) = x ϕ(x)=x。给定输入 X \boldsymbol{X} X,多层感知机的第 l l l层的输出 H ( l ) = X W ( 1 ) W ( 2 ) … W ( l ) \boldsymbol{H}^{(l)} = \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}^{(1)} \boldsymbol{W}^{(2)} \ldots \boldsymbol{W}^{(l)} H(l)=XW(1)W(2)W(l)。此时,如果层数 l l l较大, H ( l ) \boldsymbol{H}^{(l)} H(l)的计算可能会出现衰减或爆炸。举个例子,假设输入和所有层的权重参数都是标量,如权重参数为0.2和5,多层感知机的第30层输出为输入 X \boldsymbol{X} X分别与 0. 2 30 ≈ 1 × 1 0 − 21 0.2^{30} \approx 1 \times 10^{-21} 0.2301×1021(消失)和 5 30 ≈ 9 × 1 0 20 5^{30} \approx 9 \times 10^{20} 5309×1020(爆炸)的乘积。当层数较多时,梯度的计算也容易出现消失或爆炸。

随机初始化模型参数

在神经网络中,通常需要随机初始化模型参数。下面我们来解释这样做的原因。

回顾多层感知机一节描述的多层感知机。为了方便解释,假设输出层只保留一个输出单元 o 1 o_1 o1(删去 o 2 o_2 o2 o 3 o_3 o3以及指向它们的箭头),且隐藏层使用相同的激活函数。如果将每个隐藏单元的参数都初始化为相等的值,那么在正向传播时每个隐藏单元将根据相同的输入计算出相同的值,并传递至输出层。在反向传播中,每个隐藏单元的参数梯度值相等。因此,这些参数在使用基于梯度的优化算法迭代后值依然相等。之后的迭代也是如此。在这种情况下,无论隐藏单元有多少,隐藏层本质上只有1个隐藏单元在发挥作用。因此,正如在前面的实验中所做的那样,我们通常将神经网络的模型参数,特别是权重参数,进行随机初始化。

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PyTorch的默认随机初始化

随机初始化模型参数的方法有很多。在线性回归的简洁实现中,我们使用torch.nn.init.normal_()使模型net的权重参数采用正态分布的随机初始化方式。不过,PyTorch中nn.Module的模块参数都采取了较为合理的初始化策略(不同类型的layer具体采样的哪一种初始化方法的可参考源代码),因此一般不用我们考虑。

Xavier随机初始化

还有一种比较常用的随机初始化方法叫作Xavier随机初始化。
假设某全连接层的输入个数为 a a a,输出个数为 b b b,Xavier随机初始化将使该层中权重参数的每个元素都随机采样于均匀分布

U ( − 6 a + b , 6 a + b ) . U\left(-\sqrt{\frac{6}{a+b}}, \sqrt{\frac{6}{a+b}}\right). U(a+b6 ,a+b6 ).

它的设计主要考虑到,模型参数初始化后,每层输出的方差不该受该层输入个数影响,且每层梯度的方差也不该受该层输出个数影响。

考虑环境因素

协变量偏移

这里我们假设,虽然输入的分布可能随时间而改变,但是标记函数,即条件分布P(y∣x)不会改变。虽然这个问题容易理解,但在实践中也容易忽视。

想想区分猫和狗的一个例子。我们的训练数据使用的是猫和狗的真实的照片,但是在测试时,我们被要求对猫和狗的卡通图片进行分类。

cat cat dog dog
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测试数据:

cat cat dog dog
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显然,这不太可能奏效。训练集由照片组成,而测试集只包含卡通。在一个看起来与测试集有着本质不同的数据集上进行训练,而不考虑如何适应新的情况,这是不是一个好主意。不幸的是,这是一个非常常见的陷阱。

统计学家称这种协变量变化是因为问题的根源在于特征分布的变化(即协变量的变化)。数学上,我们可以说P(x)改变了,但P(y∣x)保持不变。尽管它的有用性并不局限于此,当我们认为x导致y时,协变量移位通常是正确的假设。

标签偏移

当我们认为导致偏移的是标签P(y)上的边缘分布的变化,但类条件分布是不变的P(x∣y)时,就会出现相反的问题。当我们认为y导致x时,标签偏移是一个合理的假设。例如,通常我们希望根据其表现来预测诊断结果。在这种情况下,我们认为诊断引起的表现,即疾病引起的症状。有时标签偏移和协变量移位假设可以同时成立。例如,当真正的标签函数是确定的和不变的,那么协变量偏移将始终保持,包括如果标签偏移也保持。有趣的是,当我们期望标签偏移和协变量偏移保持时,使用来自标签偏移假设的方法通常是有利的。这是因为这些方法倾向于操作看起来像标签的对象,这(在深度学习中)与处理看起来像输入的对象(在深度学习中)相比相对容易一些。

病因(要预测的诊断结果)导致 症状(观察到的结果)。

训练数据集,数据很少只包含流感p(y)的样本。

而测试数据集有流感p(y)和流感q(y),其中不变的是流感症状p(x|y)。

概念偏移

另一个相关的问题出现在概念转换中,即标签本身的定义发生变化的情况。这听起来很奇怪,毕竟猫就是猫。的确,猫的定义可能不会改变,但我们能不能对软饮料也这么说呢?事实证明,如果我们周游美国,按地理位置转移数据来源,我们会发现,即使是如图所示的这个简单术语的定义也会发生相当大的概念转变。

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美 国 软 饮 料 名 称 的 概 念 转 变 美国软饮料名称的概念转变
如果我们要建立一个机器翻译系统,分布P(y∣x)可能因我们的位置而异。这个问题很难发现。另一个可取之处是P(y∣x)通常只是逐渐变化。

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