搜索与图论——最小生成树和二分图（2）

接上篇对最小生成树的相关算法进行的讲解
此篇讲的是二分图的有关算法

二分图

二分图有一个很重要的性质：
无向图G=是二部图当且仅当G中无奇数长度的回路(环)
可以推出：无向图G=是二部图当且仅当能被二染色没有矛盾地染一遍

二分图的判定

思路：运用染色性质

主函数中：
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
     
    if (!color[i])   //若未被染色
    {
     
        if (!dfs(i, 1))  //dfs返回false即是遇到了染色矛盾
        {
     
            flag = false;   //false即无法形成二分图
            break;
        }
    }
}

dfs函数：
bool dfs(int u, int c)
{
     
    color[u] = c;

    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])	//遍历所有邻点
    {
     
        int j = e[i];  
        if (!color[j])  
        {
     
            if (!dfs(j, 3 - c)) return false;	//c==1-->3-c==2，c==2-->3-c==1即对不同的相邻点赋不同值。若返回矛盾则返回矛盾
        }
        else if (color[j] == c) return false;	//前一个点和这个点染了同样的色的话则返回矛盾
    }
    return true;
}

完整代码：AW860 染色法判定二分图

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010, M = 200010;

int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int color[N];  //一个状态数组，0未被染色，1和2分别表示一种颜色

void add(int a, int b)
{
     
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool dfs(int u, int c)
{
     
    color[u] = c;

    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])	//遍历所有邻点
    {
     
        int j = e[i];  
        if (!color[j])  
        {
     
            if (!dfs(j, 3 - c)) return false;	//c==1-->3-c==2，c==2-->3-c==1即对不同的相邻点赋不同值。若返回矛盾则返回矛盾
        }
        else if (color[j] == c) return false;	//前一个点和这个点染了同样的色的话则返回矛盾
    }

    return true;
}

int main()
{
     
    cin>>n>>m;

    memset(h, -1, sizeof h);

    while (m -- )
    {
     
        int a, b;
        cin>>a>>b;
        add(a, b), add(b, a);
    }

    bool flag = true;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
	{
     
        if (!color[i])   //若未被染色
        {
     
            if (!dfs(i, 1))  //dfs返回false即是遇到了染色矛盾
            {
     
                flag = false;   //false即无法形成二分图
                break;
            }
        }
	}
    if (flag) puts("Yes");
    else puts("No");

    return 0;
}

求二分图的最大匹配

二分图的匹配：给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。

AW861 二分图的最大匹配

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010;

int n1, n2, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int match[N];   //储存的是右半部的点和左半部的哪一个点相匹配
bool st[N];

void add(int a, int b)
{
     
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool find(int x)
{
     
    for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
    {
     
        int j = e[i];
        if (!st[j])
        {
     
            st[j] = true;
            if (match[j] == 0 || find(match[j]))	//要么是没有匹配到人，要么是能找到其他合适的
            {
     
                match[j] = x;	
                return true;
            }
        }
    }

    return false;
}

int main()
{
     
    cin>>n1>>n2>>m;

    memset(h, -1, sizeof h);

    while (m -- )
    {
     
        int a, b;
        cin>>a>>b;
        add(a, b);
    }

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
    {
     
        memset(st, false, sizeof st);	//遍历每一个左半边点，每次遍历时初始化每个点都没有被遍历
        if (find(i)) res ++ ;
    }

    cout<<res;

    return 0;
}