通用算法 - [博弈论] - 双人取数游戏

1、问题描述

给定一个数组nums，a、b两人轮流从数组的左端或右端取一个数作为自己的得分，假设两人足够聪明，都采用最优的策略取数，且a先取，问a能能拿到的最大的分数是多少？
示例：

输入：nums=[4,7,5,3]
输出：10
解释：a能拿到的最大分数为7+3=10.

2、解题思路

分析：由题意，我们可以明确以下几点：
(1) 当选手$a$、$b$在子数组$nums[i,...,j]$中取数时，无论怎么取，$a$、$b$最终的得分之和总是一个固定值，这个固定值等于子数组的所有元素之和；
(2) 假设$dp[i][j]$表示$a$选手在子数组$nums[i,...,j]$取数时的最优解，由于$b$选手每次也是选择最优的解，所以$dp[i-1][j]$或者$dp[i][j-1]$就代表了$b$选手在子数组$nums[i,...,j]$取数时的最优解(因为$a$选手取了一个数后剩下的元素要么是$nums[i+1,...,j]$要么是$nums[i,...,j-1]$)。
(3) 考虑到$a$和$b$的得分之和固定，即$a$的得分加上$b$的得分等于固定值，若想让$a$选手的得分最高，则等价于让$b$的得分最低。

根据以上结论，我们采用动态规划来解决该问题：
（1）定义状态：

$dp[i][j]$：$a$选手在子数组$nums[i,...,j]$上取数时的最大得分；

（2）状态转移：
$a$选手在子数组$nums[i,...,j]$的得分等于子数组之和$sum(i,j)$减去$b$选手子数组$nums[i,...,j]$的得分，而$a$选手要想得分最高，等价于$b$选手的得分最低。

$dp[i][j]=sum(i,j)-min(dp[i+1][j],dp[i][j-1])$

（3）确定起始：
当只剩下一个数时，$a$取走它。
$dp[i][i]=nums[i]$。
（4）确定终止
$a$选手在整个数组取数时的最大得分。
$dp[0][length-1]$

注意，由于涉及到区间数组和的问题，因此可以采用前缀和来进行优化。

3、代码实现

int maxScore(vector<int> nums){
     
	int len = nums.size();
	//求数组的前缀和数组
	vector<int> sums(len,0);
	for(int i = 0; i < len; i++){
     
		if(i > 0){
     
			sums[i] = sums[i-1] + nums[i]
		}
		else{
     
			sums[i] = nums[i];
		}
	}
	
	//动态规划
	vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(len,0));
	for(int i = 0; i < len; i++){
     
		for(int j=i; j >=0; j--){
     
			if(j == i){
     
				dp[i][i] = nums[i];
			}
			else{
     
				int scoresum = j  > 0 ? sum[i] - sum[j-1] : sum[i];
				dp[j][i] = scoresum - min(dp[j+1][i],dp[j][i-1];
			}
		}
	}
	
	return dp[0][len -1];
			
}