matlab模拟三体运动_如何写出三体的MATLAB程序-代码篇

如何写出三体的MATLAB程序-代码篇

写在前面

在上文当中我们已经对三个物体之间的受力进行了分析，也说明了在时间

下的加速度、速度和位移的计算方式。

本篇中将根据上一篇的公式来写出对应的代码，并且详细说明一下如何去构建一个程序的框架。

构建框架

基本变量

我们首先要确定，物体本身具有哪些物理量？

质量、加速度、速度、坐标。

其中加速度和坐标为矢量，当在计算过程当中可以将其正交分解为

与

轴的标量。

其余的量我们还可以设置一下，诸如：物体运动的时间长度、我们计算所需要的时间间隔、万有引力常数等。

对于我们要做出的图像大小也需要设置一下，比如说

轴范围，

轴范围等。

程序流程

初始化

首先需要初始化，确定三个物体在初始状态的情况:初始坐标、初始速度(大小与方向)。所以一共需要三个量：坐标、速度大小、速度相对

轴角度。

物体的加速度可以直接由万有引力公式计算出来，为了计算方便，需要将其正交分解与叠加。

随着时间演变

物体开始运动了，但是因为我们无法给出一段连续的时间，只能计算在极小的时间间隔

之后物体所在的位置。

所以在

时间，首先计算出当前位置的加速度，然后根据这个加速度算出当前的速度，再根据这个速度算出经历过

时间后的位移变化量，再将这个位移变化量叠加到

的位置上。

这样子就完成了一个循环。

作图

之前按道理，我们应该将每一个时间点的值放在一个矩阵内，这样子我们就可以得到随之间变化的所有物理量。

这样子我们就可以直接做出随着时间变化的各个物理量的图，如

和

以及

等。

如果我们想要做出小球的运动图，那就需要

时刻及其之前(做出尾迹)的数据进行作图。

实际代码

基本变量-代码

首先是初始化

%% 初始条件

% 初始条件为以圆心为(0, 0)半径r的圆上有三个等质量的点

r = 10;

% 坐标(等边三角形)

pos0 = [0, r; r/2*sqrt(3), -r/2; -r/2*sqrt(3), -r/2];

% 速度大小

v0 = [6, 6, 6];

% 速度方向(x轴正方向为参考)

theta0 = [0, 4*pi/3, 2*pi/3];

%% 参数设置

global G dt m x_min x_max y_min y_max time_end isOutVideo;

% 结束时间

time_end = 2;

% 时间间隔

dt = 0.05;

% 万有引力系数，随便设置的

G = 1;

% 质量

m = [1000, 1000, 1000];

% 小球个数

N = length(v0);

% 图像边界

x_min = -25;

x_max = -x_min;

y_min = x_min;

y_max = -y_min;

% 是否输出视频图像

isOutVideo = true;

初始化-代码

然后是将我们的初始值放入矩阵中，因为我们初始值设定的是角度与速度大小，所以首先要把

给分解为

轴上的。

%% 初始设置

time = 0:dt:time_end;

% 坐标

pos = zeros(N, 2, length(time));

pos(:,:,1) = pos0;

% 速度

vx = zeros(length(time), N);

vx(1,:) = v0.*cos(theta0);

vy = zeros(length(time), N);

vy(1,:) = v0.*sin(theta0);

% 加速度大小

a = zeros(length(time), N);

迭代开始

迭代的话这一步其实就和我们的逻辑很像了，不过之所以主代码这么简介，是因为我把一大堆复杂的内容全部放到了函数里面，只留个接口调用，这样子可以让主代码更加简洁明了。

%% 迭代开始

for t = 2:length(time)

% 得到分加速度

da = calAcceleration(pos(:,:,t-1));

% 计算速度

[vx(t,:), vy(t,:)] = calVelocity(vx(t-1,:), vy(t-1,:), da);

% 计算位移

pos(:,:,t) = calDisplacement(vx(t-1:t,:), vy(t-1:t,:), pos(:,:,t-1));

end

对于计算加速度的函数，主要的原理还是和上一篇讲的一样，通过万有引力公式求解，然后正交分解并叠加。

% 计算x与y轴加速度变化量da(3x2)

function da = calAcceleration(pos)

global m;

% 小球数量

[n, ~] = size(pos);

da = zeros(n, 2);

for i = 1:n

dax = 0;

day = 0;

for j = 1:n

if i ~= j

% i小球和j小球相对角度与距离

[theta, r] = calRelatively(pos(i,:), pos(j,:));

% 两个小球的引力大小

F = calGravitation(r, i, j);

% 第i个小球收到来自j的加速度分量

dax = dax + F/m(i)*cos(theta);

day = day + F/m(i)*sin(theta);

end

end

da(i,:) = [dax, day];

end

end

% 计算两个小球的相对角度与距离

function [theta, r] = calRelatively(pos1, pos2)

dx = pos2(1) - pos1(1);

dy = pos2(2) - pos1(2);

r = sqrt(dx^2 + dy^2);

theta = acos(dx/r);

% 因为cos值的两个象限需要区分，所以这里要变换

if dy < 0 && dx >0

theta = -theta;

end

if dx < 0 && dy < 0

theta = (pi-theta)+pi;

end

end

% 计算两个小球引力大小

function F = calGravitation(r, i, j)

global m G;

F = G*m(i)*m(j)/r^2;

end

计算速度的函数，这个就很简单了，简单的速度与加速度公式。

% 计算小球的速度变化

function [vx, vy] = calVelocity(vx_p, vy_p, da)

global dt;

vx = vx_p + dt*da(:,1)';

vy = vy_p + dt*da(:,2)';

end

计算当前坐标，方法同公式。

% 计算小球的位移变化

function pos = calDisplacement(vx, vy, pos_p)

global dt;

vx = vx';

vy = vy';

% 计算下一时刻的坐标

pos(:,1) = pos_p(:,1) + (vx(:,1)+vx(:,2))/2*dt;

pos(:,2) = pos_p(:,2) + (vy(:,1)+vy(:,2))/2*dt;

end

作图-代码

作图的话就没有这么简单了，因为还需要设置一大堆比较麻烦的图像参数。

对于做轨迹图，可以通过以下代码实现

% 做轨迹图像

plotPosition(pos, vx, vy, time)

% 做运动图像并保存视频

function plotPosition(pos, vx, vy, time)

global isOutVideo;

figure(1)

if isOutVideo == true

% 创建视频句柄，视频名称three_body.avi

writerObj = VideoWriter('three_body.avi');

open(writerObj);

myMovie(1:length(time)) = struct('cdata', [], 'colormap', []);

end

% 迭代计算得到图像

for t = 1:length(time)

plotPosVec(pos(:,:,t), vx(t,:), vy(t,:), t, pos)

if isOutVideo == true

frame = getframe;

% 修改帧参数

frame.cdata = imresize(frame.cdata, [685, 685]);

writeVideo(writerObj, frame);

end

end

% 关闭视频句柄

if isOutVideo == true

close(writerObj);

end

end

% 作图位置+速度矢量

function plotPosVec(pos, vx, vy, t, pos_all)

% 小球

global x_min x_max y_min y_max;

figure(1)

scatter(pos(:,1), pos(:,2), 'ok', 'filled')

% 图像细节调整

axis equal

box on

grid on

set(gca, 'linewidth', 1.5, 'xtick', floor(linspace(x_min, x_max, 11)), 'ytick', floor(linspace(y_min, y_max, 11)))

hold on

% 三条速度线

for i = 1:length(vx)

line([pos(i,1) pos(i,1)+vx(i)/2], [pos(i,2), pos(i,2)+vy(i)/2], 'linewidth', 1.2)

end

% 添加轨道线

plotCurrentTrace(pos_all, t)

% 添加文本

text(x_max*13/25, y_min*20/25, 'Made By Liang Hanpu', 'horiz', 'center', 'color', 'r')

axis([x_min x_max y_min y_max])

hold off

end

% 输出轨迹线

function plotCurrentTrace(pos, t)

global x_min x_max y_min y_max;

if t ~= 0

[a, ~, ~] = size(pos);

hold on

axis equal

box on

grid on

set(gca, 'linewidth', 1.5)

axis([x_min x_max y_min y_max])

for i = 1:a

x = zeros(1, t);

y = zeros(1, t);

for j = 1:t

x(j) = pos(i, 1, j);

y(j) = pos(i, 2, j);

end

plot(x, y, 'linewidth', 1.5)

end

end

end

对于做时间随速度大小与角度的图像，可以由以下函数实现，这个就比较简单了。

% 做速度随时间图像

plotVelocity(vx, vy)

% 输出三个小球速度变化图与角度变化图

function plotVelocity(vx, vy)

global dt time_end;

% 速度

v = sqrt(vx.^2 + vy.^2);

t = (0:dt:time_end)'*ones(1,3);

% 角度

theta = acos(vx./v);

theta(vx>0&vy<0) = 2*pi-theta(vx>0&vy<0);

theta(vx<0&vy<0) = (pi-theta(vx<0&vy<0))+pi;

figure

plot(t, v, 'linewidth', 1.2)

box on

xlabel('Time', 'fontsize', 16)

ylabel('Velocity' , 'fontsize', 16)

set(gca, 'linewidth', 1.2)

figure

plot(t,theta, 'linewidth', 1.2)

xlabel('Time', 'fontsize', 16)

ylabel('Angle \theta' , 'fontsize', 16)

set(gca, 'linewidth', 1.2)

end

做出来的图形大概可以看成这样子，可以看出来还是有比较有趣的趋势的。

t-v

t-theta

最后

以上就是全部内容，我将会全部放在我的Github中，地址在文章开头有。

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