纳什效率系数与可决系数的差异

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正文

纳什效率系数和可决系数的公式形式非常相似，主要差异如下：

1. 可决系数（Coefficient of determination，R）是用来度量一个统计模型的拟合优度的。
   $$R^2=1-\frac{\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{\sum (y_i-\overline{y}{)}^2}$$
   式中：$y_i$是变量观测值；$\overline{y}$是变量观测值的均值；${\hat{y}}_i$是统计模型的变量模拟值；举个例子，如果我们有一系列观测值$x_i$和$y_i$，我们假设用一元线性回归模型$y=ax+b$模拟变量之间的关系，可以得到一系列模拟值${\hat{y}}_i=\hat{a}{x}_i+\hat{b}$。如果$x$和$y$没有相关关系，最小二乘估计的参数为$\hat{a}=0,\hat{b}=\overline{y}$，此时$R^2=0$，因此，$R^2$的最小值为0，即残差平方和$(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$不会小于总的平方和$(y_i-\overline{y}{)}^2$。$R^2$的取值范围为[0,1]。
2. 纳什效率系数（Nash-Sutcliffe Efficiency, NSE）常用于用于量化模拟模型（如水文模型）的预测精度。
   $$NSE=1-\frac{\sum (y_i-y_i^{pred}{)}^2}{\sum (y_i-\overline{y}{)}^2}$$
   式中：$y_i^{pred}$是预测模型对变量的预测值。预测值属于回归样本外得到的预测结果，和回归模型的模拟值有很大区别，模型误差的平方和$(y_i-y_i^{pred}{)}^2$可能大于总平方和$(y_i-\overline{y}{)}^2$，对于一个完美的模型，估计的误差的方差等于0，则NSE=1；相反，一个模型产生的估计误差方差等于观察到的时间序列的方差，结果NSE=0。实际上，NSE=0表示该模型具有与时间序列平均值相同的预测能力，即误差平方和。当预测模型得到的估计误差方差显著大于观测值方差时，NSE<0。NSE值越接近1，表明模型预测能力越好。因此NSE的取值范围为$(-\infty ,1]$。但是如果将NSE用于模型回归中，则和$R^2$完全等价，范围是[0,1]。
   

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参考文献

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Nash%E2%80%93Sutcliffe_model_efficiency_coefficient
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_determination
[3] https://stats.stackexchange.com/questions/185898/difference-between-nash-sutcliffe-efficiency-and-coefficient-of-determination/230002#230002?newreg=2a378583117b4380bb38a8884c23fdd4