彻底理解B树

前言

最近我们的项目使用到MongoDB,因为之前的数据存储都是选择MySql或者PostgressSQL,为什么这个项目要选择MongoDB呢？进一步了解到原来MongoDB的默认存储引擎是WridedTiger，并使用B树作为索引底层的数据结构。本着好奇最后打算对B树进行深入了解。

一、B树是什么？

查阅了相关资料了解到，B树英文名叫B-Tree（Balance-Tree），是一种平衡多路搜索树，多用在文件系统、数据库的实现。假设一颗m阶B树它满足以下性质：
1.根结点的子结点至少有两个，除非当根结点就是叶子结点时，此时B树只有一个结点。
2.每个结点至多有m个子结点
3.除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有 $\lceil \frac{m}{2}\rceil$个子结点
4.所有叶子结点都在同一层
5.每个非根结点包含关键字个数k满足：$\lceil \frac{m}{2}\rceil -1\le k\le m-1$
6.根结点包含关键字个数k满足：$1\le k\le m-1$
如下图显示的是5阶B树

B树搜索

在B树中查找给定的关键字，首先遍历根结点包含的关键字，可以是顺序查找或者二分法查找。如果找到指定关键字则搜索结束，找不到则根据关键字是在某个ki和ki-1的区间，然后取ki所在的结点继续查找，找到则返回搜索值，还是找不到则继续去对应结点搜索。
例如我们要在下面5阶B树搜索17关键字
1.首先会取根结点9关键字进行比较
2.因9<17没有命中,然后找到它右结点包含的关键字12,15,18，从左到右进行比较没有命中，继续遍历它的子结点。
3.最后因15<17<18，找到了15~18的子结点包含的关键字16,17进行遍历比较，最终成功命中17，返回值。

B树插入

在B树中插入指定的关键字，插入的关键字必然是在叶子结点，通过搜索找到插入关键字的结点，然后分两种情况：
1.如果插入结点的关键字数量少于m-1，则直接插入。
2.如果插入结点的关键字数量等于m-1，插入后会引起分裂。假设结点关键字的中间位置为k，则会将K位置的关键字向上父节点合并。(0,k-1)和(k+1,m)位置的关键字会分裂成两个子结点。一次分裂后有可能会导致父结点上溢，因此也会导致父节点分裂，最极端的情况下有可能会一直分裂到父结点。

B树删除

在B树中删除指定的关键字，通过搜索找到要删除结点的关键字进行删除，相对比较复杂有几种情况：
1.假如是在叶子结点，它的关键字数量大于$\lceil \frac{m}{2}\rceil -1$,那么直接删除即可。
2.假如是在叶子结点，它的关键字数量恰好等于$\lceil \frac{m}{2}\rceil -1$，那么删除后剩余的关键字必然等于$\lceil \frac{m}{2}\rceil -2$，如果左临近的兄弟结点至少有$\lceil \frac{m}{2}\rceil$关键字，可以将它最大的关键字，替换父结点的关键字，被替换父结点的关键字插入到删除结点的最少位置。这种操作也叫右旋转。
3.假如是在叶子结点，它的关键字数量恰好等于$\lceil \frac{m}{2}\rceil -1$，那么删除后剩余的关键字必然等于$\lceil \frac{m}{2}\rceil -2$，如果左临近的兄弟结点关键字也恰好等于$\lceil \frac{m}{2}\rceil -1$，可以将它父节点关键字挪下来与左右结点关键字进行合并，这种情况会导致父结点下溢，最极端的情况下溢现象可能会一直往上传播，直到根结点。
4.假如是在非叶子结点，需要找到前驱或者后继关键字，然后覆盖要删除的关键字，最后在删除前驱或者后继关键字，注意删除的前驱或者后继关键字必然在叶子节点。

B树高度

从上面的5阶B树视图展示我们可以了解到，当n>=1，则对于任意一棵包含n个关键字、高度为h、阶数为m的B树。B树每层结点数最大等于m时，B树的高度将会是最低。相反B树的每层结点数等于 $\lceil \frac{m}{2}\rceil$时，B树的高度将会是最大。因此根据这两个特性，可以推导出B树的最大高度、最小高度。

最小高度

B树每层结点数最大等于m时，B树的高度将会是最低

结点个数	层数
1	0
m	1
$m^2$	2
$m^3$	3
…	…
$m^{h-1}$	h-1

因此可以得出，对于高度为h,m阶的B树最大总结点数为：$$1+m+m^2+m^3+...m^{h-1}$$
最大的总关键字数等于最大总结点数*每个结点最大关键数：$$n\le （1+m+m^2+m^3+...m^{h-1})\ast (m-1)⟹n\le m^{h-1}⟹lo{g}_{m}n+1\le h$$
最后得出结论：
当n>=1，包含n个关键字、高度为h、阶数为m的B树，最小高度为:$lo{g}_{m}n+1$

最大高度

B树的每层结点数等于$\lceil \frac{m}{2}\rceil$时，也就是每个结点的关键字最少时，B树的高度将会是最大。

结点个数	层数
1	0
2	1
$2\lceil \frac{m}{2}\rceil$	2
$2\lceil \frac{m}{2}{\rceil }^2$	3
$..$	…
$2\lceil \frac{m}{2}{\rceil }^{h-2}$	h-1
$2\lceil \frac{m}{2}{\rceil }^{h-1}$	h

注意h层对应的结点是外部结点，也就是叶结点的子结点，实际上不存放数据的，外部结点个数刚好等于n-1。
因此有得出结论： $$2\lceil \frac{m}{2}{\rceil }^{h-1}\le n-1⟹h\le lo{g}_{\lceil \frac{m}{2}\rceil }\frac{n+1}{2}$$

外部节点等于n-1

刚开始我在思考计算B树的最大高度时，怎么也想不通为什么这么巧，对于包含n个关键字、高度为h、阶数为m的B树，外部节点等于n-1呢
推导开始：
首先根据B树的特性可以知道一个结点的子结点刚好等于结点的关键数+1，因此我们可以假设：

结点个数	层数
1	0
第0层结点的关键字数量+1	1
第1层所有结点的关键字数量+第1层结点数	2
第2层所有结点的关键字数量+第2层结点数	3
…	…
第h-2层所有结点的关键字数量+第h-2层结点数	h-1(叶结点)
第h-1层所有结点的关键字数量+第h-1层结点数	h(外部结点)

最后可知，外部结点数刚好等于B树的关键字+1

B树应用

对B树有了深刻认识，进一步对B树应用进行探讨。我们之前学过平衡二叉树像AVL树，红黑树查询的时间复杂度是O(logN),查询速度非常快了。但是当数据量特别大时，内存就会不够用。我们也可以把数据以AVL树或红黑树数据结构形式存到磁盘，由于他们是二叉树，数据特别大时树深度高，读取磁盘IO次数就会越多，因此像AVL数，红黑树从设计上无法迎合磁盘。
既然树的深度和读取磁盘IO次数有关，就要想办法降低树的深度，减少读取磁盘IO的次数，将“瘦高”的树变得“矮胖”。B树是一种平衡多路搜索树，每个结点至少有2个或者几千个孩子结点，整体上大大降低了树的高度，因此B树这种数据结构最适合应用在磁盘上。