均匀带电体的场强的计算

问题探讨

• 问题背景：已知均匀带电细棒外一点的场强，已知均匀带电圆环轴线上一点的场强，已知均匀带电圆盘轴线上一点的场强，试求均匀带电圆球轴线上一点的场强。
• 基本解题思路：利用点电荷的场强计算式：$E=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{r^2}{e}_r$;再利用积分求和即可得到答案。
• 问题引导
  • 如图所示，设真空中有一均匀带电细棒AB的电荷线密度为$\lambda$；$P$为$AB$外的一点，它到$AB$的距离为$a$，$AP$、$BP$与$y$轴的夹角分别为${\theta }_1$，${\theta }_2$，求带电棒在$P$点产生的场强。
    • 注意：（1）选好点电荷；（2）尽量使矢量积分简化（化矢量积分为标量积分，注意多变量统一）
      解：
      在$AB$棒上任取一段微元（电荷元）$dy$，故有此所带的电荷量为$dq=\lambda dy$，
      故其在$P$点所产生的场强为$dE=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{dq}{r^2}{e}_r=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{\lambda dy}{r^2}{e}_r$
      注：$e_r$表示由施力电荷指向受力电荷的单位矢量。
      因为这是一个二维场，故有在$x，y$轴上的投影分别为（化标量）
      $d{E}_x=dEsin\theta =\frac{\lambda sin\theta }{4\pi {ϵ}_0}dy$
      $d{E}_y=dEcos\theta =\frac{\lambda cos\theta }{4\pi {ϵ}_0}dy$
      式子中的$\theta$为$dE$与$y$轴的夹角，$r$为线元$dy$到$P$点的距离。
      由图易得，变量$\theta ，y，r$之间的关系为
      $y=-acot\theta$，$r=\frac{a}{sin\theta }=acsc\theta$
      故有$dy=\frac{ad\theta }{si{n}^2\theta }=acs{c}^2\theta d\theta$
      所以，
      $d{E}_x=\frac{\lambda }{4\pi {ϵ}_{0}a}sin\theta d\theta$
      $d{E}_y=\frac{\lambda }{4\pi {ϵ}_{0}a}cos\theta d\theta$
      对二式积分，即可得到在$P$点处的$X，Y$方向上的合场强
      即$E_x={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}d{E}_x={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\frac{\lambda sin\theta }{4\pi {ϵ}_{0}a}d\theta =\frac{\lambda }{4\pi {ϵ}_{0}a}（cos{\theta }_1-cos{\theta }_2）$
      $E_y={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}d{E}_y={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\frac{\lambda cos\theta }{4\pi {ϵ}_{0}a}d\theta =\frac{\lambda }{4\pi {ϵ}_{0}a}（sin{\theta }_2-sin{\theta }_1）$
      故在$P$点处的场强：
      $E=E_{x}i+E_{y}j=\frac{\lambda }{4\pi {ϵ}_{0}a}[（cos{\theta }_1-cos{\theta }_2）i+（sin{\theta }_2-sin{\theta }_1）j]$
      如若细棒可认为无限长，则可有${\theta }_1=0，{\theta }_2=\pi$
      即得细棒在$P$点处的场强$E=E_{x}i=\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_{0}a}i$
      方向：该处场强的方向与细棒垂直。
  • 如图所示，该均匀带电圆盘$L$的半径为$R$，所带电荷为$q$，则求垂直于环面，且过环心的$x$轴上任一点$P$的场强。
    
    • 注意：（1）选好点电荷；（2）尽量使矢量积分简化（化矢量积分为标量积分，注意多变量统一）
      解：
      在圆环$L$任取一电荷元$dq$，则其在$P$点处产生的场强为：$dE=\frac{dq}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}{e}_r$
      显然由图可得，这是二维场，电荷对称分布。
      所以，使得对称方向上的成对等量电荷元$q，q^{\prime }$在$y$方向上的场强等大反向，相互抵消。
      于是，$P$点处的场强仅仅只有$x$方向上的分量。
      即$dq$在$P$点处场强在$x$方向上的投影为：
      $cos\theta =\frac{x}{r}$ 此处$x，r$均可认为是常量。
      $dE=d{E}_{x}cos\theta =\frac{dq}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}cos\theta =\frac{xdq}{4\pi {ϵ}_0{r}^3}$
      对上式进行积分，即可得到$P$点处的场强大小
      $E=E_x=\int d{E}_x=\oint \frac{xdq}{4\pi {ϵ}_0{r}^3}=\frac{xq}{4\pi {ϵ}_0{r}^3}=\frac{xq}{4\pi {ϵ}_0（x^2+R^2{）}^{\frac{3}{2}}}$
      即可得到一些推论：
      当$P$点位于环心时（$x=0$），其产生场强为0；
      当$P$点距离环心无限远时（$x>>R$），其产生的场强为$E=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{x}^2}$
      方向：该处场强的方向与圆环平面垂直。
  • 如图所示，有一半径为$R$的均匀带电圆盘，其电荷面密度为$\sigma$，试求过盘心，且垂直于盘面的轴上的场强。
    
    • 注意：（1）选好点电荷；（2）尽量使矢量积分简化（化矢量积分为标量积分，注意多变量统一）
      解：
      该带电圆盘可等效为由半径为0至半径为$R$的带电圆环构成的。
      可在圆盘内取一半径为$r$，宽为$dr$的环带作为电荷元，其所带电荷量为$dq=\sigma 2\pi rdr$
      这是一个二维场，由于电荷对称分布，所以只有$x$轴方向上的场强分量。
      所以，在$P$点处的场强大小为$dE=\frac{xdq}{4\pi {ϵ}_0（x^2+r^2{）}^{\frac{3}{2}}}=\frac{\sigma xrdr}{2{ϵ}_0（x^2+r^2{）}^{\frac{3}{2}}}$
      对上式进行积分，即可得到整个圆盘在$P$点处产生的场强大小：
      $E=\int dE={\int }_0^R\frac{\sigma xrdr}{2{ϵ}_0（x^2+r^2{）}^{\frac{3}{2}}}=\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}[1-\frac{x}{(x^2+R^2{)}^{\frac{1}{2}}}]$
      则有当圆盘无限大时，即$R>>x$时，有$E=\frac{\sigma }{2ϵ}i$
      方向：该处场强的方向与圆盘平面垂直。
• 解决问题

  • 如图所示，有一半径为R的均匀实心带电圆球，所带电量为$Q$，试求过球心，其轴线上距离球心$x_0$处$P$点的场强。
    

    • 注意：（1）选好点电荷；（2）尽量使矢量积分简化（化矢量积分为标量积分，注意多变量统一）
      解：
      该带电圆球可等效为由半径为0至半径为$R$的带电圆盘构成的。
      可在圆球内取一距离圆心为$l$,半径为$r$，宽为$dl$的盘块作为电荷元。
      $R^2=r^2+l^2$ 所以，$r^2=R^2-l^2$
      则其所带电荷量$dq=\frac{3Q}{4\pi R^3}\pi r^{2}dl=\frac{3Q}{4R^3}{r}^{2}dl$
      所以，电荷面密度$\sigma =\frac{3Q}{4\pi R^3}dl$
      所取圆盘距球心距离为$l$，距离$P$点为$x$，则$x=x_0-l$
      即有，在$P$处的场强大小为$dE=\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}[1-\frac{x}{(x^2+r^2{)}^{\frac{1}{2}}}]=\frac{3Q}{8{ϵ}_0\pi R^3}[1-\frac{x_0-l}{(（x_0-l{）}^2+R^2-l^2){)}^{\frac{1}{2}}}]dl$
      对上式积分即可得到整个圆球体在$P$点处产生的场强大小：
      $E=\int dE={\int }_{-R}^R\frac{3Q}{8{ϵ}_0\pi R^3}[1-\frac{x_0-l}{(（x_0-l{）}^2+R^2-l^2){)}^{\frac{1}{2}}}]dl={\int }_{-R}^R\frac{3Q}{8{ϵ}_0\pi R^3}(\frac{x_0^2-2x_{0}l+R^2+x_0-l}{-2x_{0}l+x_0^2+R^2})dl=\frac{3Q}{8{ϵ}_0\pi R^3}(\frac{R^3}{3x_0^2}-(-\frac{R^3}{3x_0^2}))=\frac{Q}{4{ϵ}_0\pi x_0^2}$
      方向：$P$点的场强方向与轴线方向相同