数学分析（三）（1）

数学系的孩子苦命啊，居然到上整理数学知识了，开坑吧开坑吧

平面点集与多元函数

平面点集

坐标平面上满足某种条件P的点的集合称为平面点集。

E = {( x, y ) | ( x, y )满足条件P }

&圆邻域 ： { (x, y ) | ( x - x0 )^2 + ( y - y0 )^2 < &^2}
&方邻域 ： { (x, y ) | | x - x0 | < &, | y - y0 | < &}

转换一下空心邻域
U0(A ; &) = { (x, y ) | 0 < ( x - x0 )^2 + ( y - y0 )^2 < &^2}
U0(A) = { (x, y ) | | x - x0 | < &, | y - y0 | < &, (x, y ) /= (x0, y0)}

点与点集的之间的关系

通常有两种分类方式：
（1）分为外点、内点、边界点。
（2）分为聚点、孤立点、外点。

内点概念

其他点的概念

点之间联系

引用知乎某用户的理解

想像1：+----------------------------+
如果某国+有一个无限人数组成的黑帮+
说+x+是内点：意思是说+x+在某种关系下所有小弟（包括他自己）是黑帮的成员。显然x+自己是黑帮成员+
说+x+是外点：意思是说+x+在某种关系下的所有小弟（包括他自己）都不是的黑帮成员，显然x+自己不是黑帮成员+
说+x+是边界点：意思是说+x+所有各种关系下的有一部分小弟（包括他自己）都是的黑帮成员，显然x+自己可能是，也可能不是黑帮成员+
说+x+是孤立点：意思是说+x+在所有关系下的小弟（不包括他自己）都不是的黑帮成员，但是他自己是黑帮成员，所以孤立点这个名词：还是非常形象的。显然孤立点是边界点的成员并且是黑帮成员。
+-----------理解八卦一下-----------------+
1、可见孤立点是忠诚的，那么他应该是黑帮最可以信赖的人，因为他只和组织+A+有关系。但是关系似乎不是很好，是个独行侠。是一把利刃。但是不忠诚的话，也有可能是警方卧底。因为他和组织外有关系。+
2、内点，很显然他们组织的基础。孤立点是边界点中，是黑帮成员那一部分。+
3、边界点是组织要提防的争取的人。+4、外点，显然不是非常重要的。+同理：某国+S有一个有限人数组成的黑帮，上述定义也是有意义的。
+------------继续思考--------------------+
我们来继续考虑+S国的一个无限人数组成的黑帮A+x+是极限点：
+意思是说+x+在所有各种关系（不包括他自己）总有一个小弟是黑帮成员。
+显然x+自己可能是，也可能不是黑帮成员。
+x+是聚点：意思是说+x+在所有各种关系下有无数个小弟是黑帮成员。
+-----------理解八卦一下-----------------+
1、我们发现极限点和聚点其实是一个意思。证明请看+baby+rudin+2.20定理。还有一些书上有附着点+x+的定义，是一个意思。+
2、显然聚点：是带特殊关系的黑帮成员或者是非黑帮成员。通过组织其他的人，总可以环环相扣找到他聚点。+
3、如果聚点不是黑帮成员，可以设想他是某个高官。是这个黑帮的后台，但是不是黑帮成员，但是通过组织其他的人，总可以环环相扣找到他。+
4、如果聚点是黑帮成员，可以想想，他混的不错。是个能人。+
想像2：+----------------------------+
如果某国+S有一个有限人数组成的黑帮+B+我们可以发现，黑帮B+中没有极限点。证明请看bady+rudin+2.20定理。
+----------------------------+
解释：+：某种关系下的小弟（包括他自己）
+：所有各种关系下的小弟（包括他自己）
+：所有各种关系（不包括他自己）的小弟
+显然我们思考有限和无限时，内、边、外和孤是可以的。对于无限，还有聚点的概念。而且有+Weierstrass+Theorem魏尔斯特拉斯聚点定理：+中每个有界无限子集在中有聚点。
+换句话说，+每个黑帮都有一个强大的高官后台或者内部的能人。+
这就是神秘无限世界的一瞥。

几种比较重要的平面点集

平面点集

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