解析几何之目：弦长和面积：2014年理数全国卷A题20

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2014年理科数学全国卷一题20

（20）（本小题满分12分）
已知点 ，椭圆 的离心率为 , 是椭圆 的右焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点.

（I）求 的方程;
（Ⅱ）设过点 的动直线 与 相交于 两点.当 的面积最大时，求 的方程.

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【解答问题I】

依题意可知，直线 的方程为： . 其与 轴的交点为 .

所以 , 椭圆 的方程为：

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【问题Ⅱ分析】

注意以下的示意图， 四点可构成3个三角形（两小一大）：

两个小三角形的面积之和等于大三角形的面积。其中， 和 的面积计算较为容易，可以根据这两个三角形的面积，计算 的面积。

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【解答问题Ⅱ】

若直线 垂直于 轴，则 两点在 轴上， 的面积为0. 以下讨论斜率存在的情况。

因为点 在 轴上，所以 两点位于 轴同侧，其 坐标同正或同负。

已知 , 所以

两点是直线与椭圆的公共点，满足以下方程：

代入消元后可得：

令

当 时， 取得最大值，取得最大值。

由 解得 , 此时

综上所述，当 的面积最大时， 的方程为： .

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【提炼与提高】

三角形的面积有多种计算方法，在高考中出现频率较高。

在以上解法中，经过几何分析后，我们找到了一种计算量较小的路径。如果根据 长度及与原点的距离计算也是可以的。结论一致，但计算过程就要复杂一些。有兴趣的读者可以自行尝试，并作比较。

考场上的每一分钟都是珍贵的。要想在高考中胜出，就要养成良好的解题习惯：对解析几何问题，要先作几何分析，找出几条可行的解答路径，再粗略比较几种解法的计算成本，选择一条最优解答路径。当然，只有在平时加强训练，才能做到这一点。

关于面积公式的灵活用法，请参考下文：
用初中数学解答高考题：如何用面积公式实现转化？

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