朴素高精度乘法的常数优化

2015年辽宁省赛热身赛有一道高精度乘法

传送门：NEUOJ 1574 A*B

1574: A * B

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题目描述

Calculate a*b 

输入

Your program will be tested on one or more test cases. In each test case, two integer a,b(0<=a,b<=10^100000).

 

输出

For each test case, print the following line:

answer

where answer is a*b.

样例输入

1000000000000000 2000000000000000

样例输出

2000000000000000000000000000000

提示

来源

2015省赛热身赛

朴素高精度乘法的典型写法是

 1 #include<cstdio>

 2 #include<cstring>

 3 using namespace std;

 4 const int MAX_N=1e5+10;

 5 char sa[MAX_N], sb[MAX_N];

 6 int a[MAX_N], b[MAX_N], res[MAX_N<<1];

 7 int main(){

 8     //freopen("in", "r", stdin);

 9     while(~scanf("%s%s", sa, sb)){

10         int i, j;

11         memset(res, 0, sizeof(res));

12         for(i=0; sa[i]; i++){

13              for(j=0; sb[j]; j++){

14                  res[i+j]+=(sa[i]-'0')*(sb[j]-'0');

15              }

16         }

17         int tot=i+j-2;    //error-prone

18         for(i=tot; i; i--){

19             res[i-1]+=res[i]/10;

20             res[i]%=10;

21         }

22         printf("%d", res[0]);    //error-prone

23         if(res[0]) for(i=1; i<=tot; i++) printf("%d", res[i]);

24         puts("");

25     }

26     return 0;

27 }

但这样写会TLE。下面要介绍一种常数优化：

将大整数从低位到高位每6位分成一组（最后一组若不够6位自动在高位补0)，这样便自然得到了大整数的1000000(100W）进制表示，将每组内的10进制计数看成是100W进制的一个“数字”，由于小于100W的数的乘法无需采用高精度计算，可认为是O(1)的，实际上对于不致溢出的小整数，机器实现的乘法比模拟竖式计算要快好多。这样便在原来十进制表示下的朴素高精度乘法的基础上，实现了常数优化。这样的常数优化常常是有效的。

 1 #include<cstdio>

 2 #include<cstring>

 3 #define set0(a) memset(a, 0, sizeof(a))

 4 using namespace std;

 5 const int MAX_N=1e5+10;

 6 typedef long long ll;

 7 char sa[MAX_N], sb[MAX_N];

 8 ll a[MAX_N], b[MAX_N], res[MAX_N<<1];

 9 int base=6;

10 ll mod=1e6;

11 int trans(char *s, ll *a){  //value-passed

12     //memset(a, 0, sizeof(a));    //error-prone

13     int ls=strlen(s), len=(ls+base-1)/base;

14     int now=0, rem=ls%base;

15     int l, r;

16     if(rem){

17         l=0; r=rem;

18         for(int i=r-1, p=1; i>=l; i--, p*=10){

19             a[0]+=(s[i]-'0')*p;

20         }

21         now++;

22     }

23     for(int i=0; now<len; now++, i++){

24         l=rem+base*i, r=l+base; //error-prone

25         for(int j=r-1, p=1; j>=l; j--, p*=10){

26             a[now]+=(s[j]-'0')*p;

27         }

28     }

29     return len;

30 }

31  

32 int main(){

33     //freopen("in", "r", stdin);

34     while(~scanf("%s%s", sa, sb)){

35         set0(a); set0(b); set0(res);

36         int la=trans(sa, a), lb=trans(sb, b);

37         for(int i=0; i<la; i++){

38             for(int j=0; j<lb; j++){

39                 res[i+j]+=a[i]*b[j];

40             }

41         }

42         int tot=la+lb-2;

43         for(int i=tot; i; i--){

44             res[i-1]+=res[i]/mod;

45             res[i]%=mod;

46         }

47         int i;

48         for(i=0; i<=tot&&!res[i]; i++);

49         if(i>tot) putchar('0');

50         else{

51             printf("%lld", res[i++]);   //error-prone

52             for(; i<=tot; i++) printf("%06lld", res[i]);

53         }

54         puts("");

55     }

56     return 0;

57 }

Time: 4158MS

选择每6个分一组是要保证运算过程不会溢出long long，就本题的数据范围而言，取7位分为一组也可，这样常数会更优，只需将上面的代码稍加修改（注意加粗的三行）

 1 #include<cstdio>

 2 #include<cstring>

 3 #define set0(a) memset(a, 0, sizeof(a))

 4 using namespace std;

 5 const int MAX_N=1e5+10;

 6 typedef long long ll;

 7 char sa[MAX_N], sb[MAX_N];

 8 ll a[MAX_N], b[MAX_N], res[MAX_N<<1];

 9 int base=7; 10 ll mod=1e7; 11 int trans(char *s, ll *a){  //value-passed

12     //memset(a, 0, sizeof(a));    //error-prone

13     int ls=strlen(s), len=(ls+base-1)/base;

14     int now=0, rem=ls%base;

15     int l, r;

16     if(rem){

17         l=0; r=rem;

18         for(int i=r-1, p=1; i>=l; i--, p*=10){

19             a[0]+=(s[i]-'0')*p;

20         }

21         now++;

22     }

23     for(int i=0; now<len; now++, i++){

24         l=rem+base*i, r=l+base; //error-prone

25         for(int j=r-1, p=1; j>=l; j--, p*=10){

26             a[now]+=(s[j]-'0')*p;

27         }

28     }

29     return len;

30 }

31  

32 int main(){

33     //freopen("in", "r", stdin);

34     while(~scanf("%s%s", sa, sb)){

35         set0(a); set0(b); set0(res);

36         int la=trans(sa, a), lb=trans(sb, b);

37         for(int i=0; i<la; i++){

38             for(int j=0; j<lb; j++){

39                 res[i+j]+=a[i]*b[j];

40             }

41         }

42         int tot=la+lb-2;

43         for(int i=tot; i; i--){

44             res[i-1]+=res[i]/mod;

45             res[i]%=mod;

46         }

47         int i;

48         for(i=0; i<=tot&&!res[i]; i++);

49         if(i>tot) putchar('0');

50         else{

51             printf("%lld", res[i++]);   //error-prone

52             for(; i<=tot; i++) printf("%07lld", res[i]); 53         }

54         puts("");

55     }

56     return 0;

57 }

 Time: 2937MS（这结果在所有AC的提交中算是很优的了）

当然高精度乘法有复杂度更优的解法，比如快速傅立叶变换（FFT），但通过本题，我们看到这种代码量较小的分组常数优化对于N不太大，时限较宽的问题还是很有效的。