二分图匹配初步

什么是二分图

若图G的结点集V(G)可以分成两个非空子集 V₁和V₂，并且图G的任意边xy关联的两个结点 x、y分别属于这两个子集，则图G是二分图。
所有的树都是二分图。从树中任取一个结点为树根，着上白色，然后将根的所有孩子着上黑色，将下一层再着白色，继续此过程直到所有结点都着色。
用着色法或标记法可以检测一个给定的图是不是十分图。
偶数个结点的圈是二分图，而奇数个结点的圈不是二分图。所以如果图中含有奇圈，就不是二分图。其实这是一个定理： 图G是二分图当且仅当图G不含奇圈。

二分图的阶数指什么？

图中结点的总数。

说二分图是平衡的或偏斜的，是什么含义？

设二分图G两个子集合为V₁和V₂，若两个集合的基数（元素的个数）不等，设V₁的基数较大。则若|V₁| = |V₂|，则称G是平衡的。若|V₁| - |V₂| = 1，则称G是准平衡的。则若|V₁| - |V₂| ≥2，则称G是偏斜的。

什么是图的匹配？

图的匹配M是由一些边组成的集合，其中任何两条边都不关联（没有公共端点）。

什么是完全匹配和完美匹配？

设X、Y是二分图G的两个部分。若X中每个结点都关联于匹配M中的一条边，那我们称M是从X到Y的一个完全匹配。此时，M未必是从Y到X的一个完全匹配。若M同时是从X到Y和从Y到X的完全匹配，则M称为一个完美匹配，这意味着|X|=|y|。从X到Y的完全匹配仅要求|X|≤|Y|。

思考：不是二分图的话是否存在匹配问题？

不是二分图就不能分为两个集合，一般都在二分图上研究匹配问题。

什么是最大匹配与极大匹配？

若匹配M在图G的所有匹配中基数最大，M就是最大匹配。若不存在更大的匹配M'包含M，我们就称M是一个极大匹配。注意，极大匹配不一定是最大匹配，而最大匹配一定是极大匹配。

什么是交错路和增广路？

设M是图G的一个匹配，图G的M-交错路是由在M中的边和不在M中的边交替出现构成的。若结点v与M中的某条边相关联，就称v为M-匹配的。否则，称v为M-不匹配的。M-增广路是指连接两个M-不匹配结点的交错路。 M-增广路开始并终止于不在M中的边。

Berge匹配定理的内容是什么？

图G的匹配M是最大匹配当且仅当G中没有M-增广路。

Hall匹配定理的内容是什么？

对于结点v，我们用n(v)表示所有与v邻接的结点集。对于图G结点集的任意子集S，N(S)表示所有与S中的结点相邻接的结点集的并集，即N(S)=∪n(v)。
Hall匹配定理的内容是：二分图G的两个部分为X、Y，若存在从X到Y的完全匹配当且仅当对任意S∈X，都有|N(S)|≥|S|。
由Hall匹配定理，可以推出Hall婚配定理：二分图G的两个部分X、Y 满足|X|=|Y|时，图G存在完美匹配当且仅当对任意的子集S∈X，都有 |N(S)|≥|S|。