协方差cov(X),cov(X,Y)；变异系数c.v
目录
- 协方差 cov(x)
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- - x 为一个样本向量
- - x 为一个样本矩阵
- 协方差 cov(x,y)
- 变异系数 c.v
首先看看 均值，样本方差，样本协方差 公式区别
X ˉ \bar{X} Xˉ = 1 N ∑ i = 1 N x i \frac{ 1}{N}\sum_{i=1}^N x_i N1∑i=1Nxi
S = 1 N − 1 ∑ i = 1 N ( x i − x ˉ ) \frac{ 1}{N-1}\sum_{i=1}^N (x_i-\bar{x}) N−11∑i=1N(xi−xˉ)
cov(x,y) = 1 N − 1 ∑ i = 1 N ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) \frac{ 1}{N-1}\sum_{i=1}^N (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) N−11∑i=1N(xi−xˉ)(yi−yˉ)
其中，样本方差公式中为什么除的n-1而不是n，样本协方差同样除的是n-1而不是n，请看此处：http://blog.csdn.net/maoersong/article/details/21819957，如果除的是n，那么求的方差就不是随机抽取变量组成样本的方差，而是整个空间的方差。
协方差 cov(x)
- x 为一个样本向量
cov(x)计算的是样本方差的无偏估计，但不是真正的方差 s 2 s^2 s2，真正的方差是样本的最大似然估计，可以用cov(x,1)计算。
cov(x) = ∑ i = 1 n ( x − x ˉ ) n − 1 \frac{\sum_{i=1}^{n} (x-\bar{x})}{n-1} n−1∑i=1n(x−xˉ)
cov(x,1) = s 2 s^2 s2 = ∑ i = 1 n ( x − x ˉ ) n \frac{\sum_{i=1}^{n}( x-\bar{x})}{n} n∑i=1n(x−xˉ)
- x 为一个样本矩阵
若x= ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) T (x_1,x_2,...,x_n)^T (x1,x2,...,xn)T是n维矩阵，即n个样本变量，cov(x)得到n×n的矩阵
其中对角线元素是每个维度的方差，非对角线上的元素则是不同维度间的协方差， c 12 = c 21 c_{12}=c_{21} c12=c21。
协方差 cov(x,y)
x=[ a 1 , a 2 , . . . , a m a_1,a_2,...,a_m a1,a2,...,am]
y=[ b 1 , b 2 , . . . , b m b_1,b_2,...,b_m b1,b2,...,bm]
z= ( a 1 a 2 . . . a m b 1 b 2 . . . b m ) \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & ... & a_m \\ b_1 & b_2 & ... & b_m \end{pmatrix} (a1b1a2b2......ambm)
cov(x,y) = cov(z)
cov(z)其实就是把cov(x,y)中两个变量纵向拼接在一起作为z参与运算。
所以，协方差矩阵运算时，首先要明确矩阵的一行是一组样本还是一列。
变异系数 c.v
比较两组数据离散程度，如果两组数据的测量尺度相差太大，或者数据量纲的不同，直接使用标准差来进行比较不合适，此时就应当消除测量尺度和量纲的影响。
c.v = （标准差 s / 平均值 x ˉ \bar{x} xˉ）× 100%
进行数据分析时，若变异系数大于15%，则考虑该数据可能不正常，应该剔除。
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版权声明：部分内容参考「月亮是蓝色」的文章，
原文链接：https://blog.csdn.net/lyl771857509/article/details/79439184