一切皆整数的FFT

 

    可以知道，对于计算机的储存和处理，我们使用一个double数对来保存复数，同时运算的时候大量的运用了三角函数，浮点乘法等。撇开低效率不谈，光是其精确度都不会太高！

       对于数字的估计可以知道最终的结果可能非常大(浮点数),之后各种误差开始积累~而且速度越来越慢。

       于是对于n很大的情况，一般来说系数不会太大。

      下面介绍一种vb神教我的思想。

 

    这样就把 复数对应到了一个整数，之后一切都在mod P系统内考虑。显然如果最终得到的结果是小数的话，那么是无法等价的。

       其中，由于N经常是2的次幂，于是我们可以通过 构造 P = c * (2^k) + 1类的素数来达到目的。

       例如在整系数的多项式乘法中，大整数乘法中。。。这些的最终结果均为整数，于是可以用此来等价。

       下面来举一个例子:

       例子:

      我们按照数论替换的思路来YY看吧……

       首先我们找到一个素数P以及它的原根G:

       P = 1004535809 

       G = 3 

      此时G^(P-1)/8 =  395918948 (mod P)

 

      之后按照例子的做法带入，而已得到A,B序列:

       A = {21 648936765 369939602853529083 7 128750538 634596211 377855264}

       B = {9 107604863 445555772536309069 3 745698602 558980033 619459092}

       对比发现，对于原来是整数项的，得到的结果相同(想想为什么？)，同时纯复数项的各种不同(为什么，通过这个整数是否有可能还原原复数呢？)

       C = {189 956821336 1512323231000195688 21 603796229 853303436 452794142}

       接下来我们知道是需要将C的每个元素取共轭，然后再做一次FFT,并将结果/N得到最终答案。

       问题来了，复数都被我搞成一坨一坨的整数了，如何“共轭”?

 

 

    于是牛逼的事情发生了，只需要第0项不变，其余的通过 k -> N – k(1 <= k 的映射交换位置就完成了所谓的“共轭”。

之后就是裸的FFT了，并将得到的结果乘上N的逆元即可。

         

         http://61.187.179.132:8080/JudgeOnline/showproblem?problem_id=2179

         此题是高精度乘法的题目，使用以上算法能在2000~3000MS通过

 

         http://61.187.179.132:8080/JudgeOnline/showproblem?problem_id=2194

         此题是类多项式乘法的题目，使用以上算法能在6000ms+通过

         https://www.spoj.pl/problems/TSUM/

         此题为裸FFT + 容斥计数

 ** 注意要点: 当系数的结果过大，需要选择合适的P

 

【FFT高精度乘法(数论变换)代码】

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类别：数论 查看评论