2021-05-22-01
（本题来源：奥林匹克数学中的代数问题 沈文选 张垚 冷岗松 第一章 集合中的对应原理 P2 例1）
如果从数中,按由小到大的顺序取出,使同时满足与,那么所有符合上述要求的不同取法有种.(1989年全国高中联赛)
解法一
令,.
,
作对应.即.
容易验证,这个对应是一个一一对应或一一映射或双射,则.
从而,问题转化为求,即求在集中选取三个不同元素的组合数.
解法二
设
从个数的集合中任选三个数的子集表示一种取法,对应着一个排列,反之,任一排列必对应着一个取法.故任取三个数的子集所表示的一种取法的取法集合到所有的排列集之间的对应是一一映射.
问题就可以转化为:取法总数等于排列中有3个1,11个0,而且每两个1中至少隔着两个0的排列数.
先排好模式,再将剩余的7个0插入3个1形成的4个空位中,故有种方法,此即为所有不同的取法总数.
解法三
原理同解法二,求排列数如下.
先将构造三个对象,,,,再将这三个对象按从左到右的顺序插入剩余的9个0排成的一列中,并且这三个对象不相邻,所以排列数为,此即为所有不同的取法总数.
2021-05-22-02
（本题来源：奥林匹克数学中的代数问题 沈文选 张垚 冷岗松 第一章 集合中的对应原理 P3 例2）
设,为至少含有两项的公差为正的等差数列,其项都在中,且添加的其他元素于后均不能构成与有相同公差的等差数列.求这种的个数.(这里只有两项的数列也看作等差数列).(1991年全国高中联赛题)
解
当时,满足题目要求的每个数列中有两连续项,使其前一项在集合中,而后一项在集合中各取一数,并以两数之差为公差,可构造一个满足要求的.易知,这种对应是一一对应,即双射.故的个数是.
当时,满足题目要求的每个数列中有两连续项,使其前一项在集合中,而后一项在集合中各取一数,并以两数之差为公差,可构造一个满足要求的.易知,这种对应是一一对应,即双射.故的个数是.
综上,共有个.
2021-05-22-03
（本题来源：奥林匹克数学中的代数问题 沈文选 张垚 冷岗松 第一章 集合中的对应原理 P3 例3）
设集合,若是的子集,把中的所有数的和称为的“容量"(规定空集的容量为).若的容量为奇(偶)数，则称为的奇(偶)子集.
(1)求证:的奇子集与偶子集个数相等,
(2)求证:当时，的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等,
(3)当时，求的所有奇子集的容量之和.(1992年全国高中联赛题)
解
(l)的子集有个,可分为两类:
(a)不含元素的子集（包括空集);
(b)含有元素的子集,
对(a)中任一集合,对应着(b)中的集合;
反之,(b)中任一集合都是(a)中集合的象,并满足，且(a)中不同集合也对应着(b)中不同的集合,因此,(a)、(b)的集合间可建立一一对应,即双射.
又若是的偶子集,则是奇子集;反之,若是的奇子集，则是偶子集.
因此,的奇子集与偶子集个数相等,都等于个．
(2)设表示中全体奇子集容量之和,表示中全体偶子集容量之和.又设、分别表示中奇、偶子集的个数,由(1)知.
(i)若为奇数时,的所有奇子集可由下列两类子集组成:
①的奇子集;②的每个偶子集与集的并.
于是.类似可得,因此,.
(ii)若为偶数时,的所有奇子集可由下列两类子集组成:
①的奇子集;②的每个偶子集与集的并.
于是.类似可得.由(i)知,所以.
综上,对任何,.
（3）对的补集为,则与的容量之和等于的容量，即.因此,中所有子集的容量之和是.因为,当时,故.
2021-05-22-04
设是正整数,集合,求最小的正整数,使得对于的任何一个元子集,其中必有个互不相同的元素之和等于.(2005年东南地区奥林匹克题)
解
考虑的元子集,中任何个不同元素之和不小于,所以.
将的元配为对,,.
对的任一元子集,必有三对同属于(,,两两不同).
又将的元配为对,,,对的任一元子集,必有一对，同属于.
这一对必与刚才三对中至少一对无公共元,这个元素互不相同,且和为.
因此，所求的最小正整数.