加入领导者的黏菌优化算法

一、理论基础

1、黏菌算法

请参考这里。

2、加入领导者的黏菌算法

尽管SMA已显示出很好的寻优效果，但在搜索过程中仍有改进的余地。第$t+1$次迭代时第$i$个黏菌浓度的更新主要取决于当前迭代次数$t$的全局最佳黏菌浓度$X_{GlobalBest}$，以及由从$N$个个体中汇集的两个随机黏菌浓度$X_{R_1}$和$X_{R_2}$确定的偏差。当随机黏菌远离搜索空间时，随机化可能需要更长时间才能达到最佳位置。GWO利用3个迄今为止最好的候选解($\alpha$、$\beta$和$\gamma$)来更新狼的搜索位置，EO利用迄今为止最好的4个候选对象作为平衡候选对象来达到平衡状态，受此启发，本文使用3个迄今为止最好的候选解作为领导者来更新黏菌的位置。因此，提出了加入领导者的黏菌算法(Leader slime mould algorithm, LSMA)，该算法将迄今为止最好的候选解作为领导者与随机黏菌浓度$X_{R_1}$和$X_{R_2}$进行融合。其中，全局最佳浓度命名为$leader1(L1)$，第二和第三浓度分别命名为$leader2(L2)$和$leader3(L3)$。这种模型使得算法的效率足够高，能够在开发和探索之间进行更有效的权衡，从而获得最优解。
LSMA中第$t+1$次迭代第$i$个黏菌的新的更新规则建模为：$$X_i(t+1)=r_1\cdot (UB-LB)+LB,\text{when}{r}_1<z\text{\hspace{1em}(1)}$$$$X_i(t+1)=X_{L1}(t)+V_a\cdot ((W\cdot X_{L2}-X_{R_1})+(W\cdot X_{L3}-X_{R_2})),\text{when}{r}_2<p\text{and}{r}_1\ge z\text{\hspace{1em}(2)}$$$$X_i(t+1)=V_b\cdot X_i(t),\text{when}{r}_2\ge p\text{and}{r}_1\ge z\text{\hspace{1em}(3)}$$首先，确定问题维数$D$、具有上界$UB$和下界$LB$的搜索空间中的黏菌个体数量$N$ 、最大迭代次数$T$、消除和分散的概率$z$；以及适应度函数$f$，用于评估给定问题的适应度值。提出的LSMA的伪代码如下图所示：

二、仿真实验与结果分析

将LSMA与SMA、EO、HHO、GWO和WOA进行对比，实验设置种群规模为30，最大迭代次数为500，每个算法独立运行30次，以文献[1]中F3、F4(30维/单峰函数)、F11、F12(30维/多峰函数)、F21、F22(4维、4维/固定维度多峰函数)为例，结果显示如下：

函数：F3
LSMA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
SMA：最差值: 7.3056e-313, 最优值: 0, 平均值: 2.4352e-314, 标准差: 0, 秩和检验: 0.33371
EO：最差值: 1.4189e-07, 最优值: 3.2914e-13, 平均值: 8.9959e-09, 标准差: 3.0847e-08, 秩和检验: 1.2118e-12
HHO：最差值: 4.64e-73, 最优值: 1.3439e-105, 平均值: 1.5523e-74, 标准差: 8.4704e-74, 秩和检验: 1.2118e-12
GWO：最差值: 2.2872e-05, 最优值: 4.6654e-09, 平均值: 4.5601e-06, 标准差: 6.5199e-06, 秩和检验: 1.2118e-12
WOA：最差值: 77774.2415, 最优值: 18254.7886, 平均值: 43463.0062, 标准差: 14156.2866, 秩和检验: 1.2118e-12
函数：F4
LSMA：最差值: 2.934e-240, 最优值: 0, 平均值: 9.7801e-242, 标准差: 0, 秩和检验: 1
SMA：最差值: 4.208e-152, 最优值: 3.3316e-288, 平均值: 1.4049e-153, 标准差: 7.6823e-153, 秩和检验: 6.4721e-11
EO：最差值: 4.809e-09, 最优值: 8.69e-12, 平均值: 4.8032e-10, 标准差: 1.0067e-09, 秩和检验: 2.9155e-11
HHO：最差值: 8.2148e-50, 最优值: 1.2172e-61, 平均值: 7.4345e-51, 标准差: 2.1349e-50, 秩和检验: 2.9155e-11
GWO：最差值: 4.2206e-06, 最优值: 5.5231e-08, 平均值: 7.6547e-07, 标准差: 8.2845e-07, 秩和检验: 2.9155e-11
WOA：最差值: 89.2008, 最优值: 2.2572, 平均值: 51.1707, 标准差: 28.2423, 秩和检验: 2.9155e-11
函数：F11
LSMA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
SMA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
EO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
HHO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
GWO：最差值: 1.1102e-16, 最优值: 0, 平均值: 3.7007e-18, 标准差: 2.027e-17, 秩和检验: 0.33371
WOA：最差值: 0.23679, 最优值: 0, 平均值: 0.015983, 标准差: 0.051826, 秩和检验: 0.081523
函数：F12
LSMA：最差值: 0.013146, 最优值: 1.3704e-05, 平均值: 0.00070379, 标准差: 0.0023843, 秩和检验: 1
SMA：最差值: 0.036726, 最优值: 5.03e-06, 平均值: 0.0048006, 标准差: 0.0078485, 秩和检验: 0.0083146
EO：最差值: 1.4438e-06, 最优值: 5.0458e-08, 平均值: 5.0757e-07, 标准差: 4.4779e-07, 秩和检验: 3.0199e-11
HHO：最差值: 2.3567e-05, 最优值: 2.6327e-07, 平均值: 6.5308e-06, 标准差: 6.8143e-06, 秩和检验: 6.0658e-11
GWO：最差值: 0.1211, 最优值: 0.013131, 平均值: 0.042094, 标准差: 0.025659, 秩和检验: 3.3384e-11
WOA：最差值: 0.19991, 最优值: 0.0049453, 平均值: 0.026668, 标准差: 0.034714, 秩和检验: 7.3891e-11
函数：F21
LSMA：最差值: -10.1526, 最优值: -10.1532, 平均值: -10.1531, 标准差: 0.00012938, 秩和检验: 1
SMA：最差值: -10.1522, 最优值: -10.1532, 平均值: -10.1527, 标准差: 0.00032597, 秩和检验: 3.5923e-05
EO：最差值: -2.6829, 最优值: -10.1532, 平均值: -8.8907, 标准差: 2.364, 秩和检验: 0.0018218
HHO：最差值: -5.055, 最优值: -10.1503, 平均值: -5.225, 标准差: 0.93024, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: -2.6827, 最优值: -10.1528, 平均值: -8.9139, 标准差: 2.5706, 秩和检验: 4.5043e-11
WOA：最差值: -2.6287, 最优值: -10.1524, 平均值: -8.701, 标准差: 2.4614, 秩和检验: 3.0199e-11
函数：F22
LSMA：最差值: -10.402, 最优值: -10.4029, 平均值: -10.4027, 标准差: 0.00022194, 秩和检验: 1
SMA：最差值: -10.4016, 最优值: -10.4029, 平均值: -10.4026, 标准差: 0.00031635, 秩和检验: 0.0083146
EO：最差值: -2.7659, 最优值: -10.4029, 平均值: -8.9944, 标准差: 2.6328, 秩和检验: 0.00038631
HHO：最差值: -2.7659, 最优值: -10.4028, 平均值: -5.1874, 标准差: 1.0723, 秩和检验: 8.9934e-11
GWO：最差值: -5.1281, 最优值: -10.4027, 平均值: -10.2253, 标准差: 0.96272, 秩和检验: 1.4643e-10
WOA：最差值: -2.7628, 最优值: -10.4008, 平均值: -6.493, 标准差: 2.9748, 秩和检验: 3.0199e-11

实验结果表明：LSMA在收敛速度、收敛精度、鲁棒性方面较对比算法均有较大提升。

三、参考文献

[1] Manoj Kumar Naik, Rutuparna Panda, Ajith Abraham. Normalized square difference based multilevel thresholding technique for multispectral images using leader slime mould algorithm[J]. Journal of King Saud University - Computer and Information Sciences, 2020.