文章来源 | 恒源云社区
原文地址 | Flooding-X: 超参数无关的 Flooding 方法
原文作者 | Mathor
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正文开始：
ICML2020的论文《Do We Need Zero Training Loss After Achieving Zero Training Error?》提出了一种Flooding方法，用于缓解模型过拟合，详情可以看我的文章《我们真的需要把训练集的损失降到零吗？》。这里简单过一下，论文提出了一个超参数\( b \)，并将损失函数改写为
其中，\( b \)是预先设定的阈值，当\( \mathcal{L}(\boldsymbol\theta) \) > \( b \)时\( \tilde{\mathcal{L}}(\boldsymbol\theta)=\mathcal{L}(\boldsymbol\theta) \)，这时就是执行普通的梯度下降；而\( \mathcal{L}(\boldsymbol\theta) \)<\( b \)时\( \tilde{\mathcal{L}}{(\boldsymbol\theta)} \)=2\( b \)-\( \mathcal{L}(\boldsymbol\theta) \)，注意到损失函数变号了，所以这时候是梯度上升。因此，总的来说就是以\( b \)为阈值，低于阈值时反而希望损失函数变大。论文把这个改动称为Flooding
这样做有什么效果呢？论文显示，在某些任务中，训练集的损失函数经过这样处理后，验证集的损失能出现 “二次下降（Double Descent）”，如下图
我们可以假设梯度先下降一步后上升一步，学习率为\( \varepsilon \)，通过泰勒展开可以得到
其中，\( \boldsymbol{\theta}_{n} \)表示第\( n \)次迭代的参数，\( g(\boldsymbol{\theta}_{n-1})=\nabla_{\boldsymbol{\theta}}\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta}_{n-1}) \)表示损失对参数\( \boldsymbol{\theta}_{n-1} \)的梯度。式(2)的结果相当于以\( \frac{\varepsilon^2}{2} \)为学习率、损失函数为梯度惩罚\( |g(\boldsymbol{\theta})||^2=||\nabla_{\boldsymbol{\theta}}\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta})||^2∣ \) 的梯度下降
详细的推导过程见《我们真的需要把训练集的损失降到零吗？》
ACHILLES’ HEEL OF FLOODING
Flooding的阿喀琉斯之踵在于超参数\( b \)，我们需要花非常多的时间寻找最佳的阈值\( b \)，这并不是一件容易的事
Achilles’ Heel（阿喀琉斯之踵）阿喀琉斯是古希腊神话故事中的英雄人物，刀枪不入，唯一的弱点是脚后跟（踵）。后用于来比喻某东西的致命缺陷
下图展示了使用BERT在SST-2数据集上不同的阈值\( b \)对结果的影响（黄色区域是最佳结果）。可以看出，\( b \)的设置对结果的影响非常大
GRADIENT ACCORDANCE
ACL2022的投稿有一篇名为《Flooding-X: Improving BERT’s Resistance to Adversarial Attacks via Loss-Restricted Fine-Tuning》的文章，以"梯度一致性"作为开启Flooding的"阀门"，而不再采用超参数\( b \)。具体来说，我们首先定义包含参数\( \boldsymbol{\theta} \)的模型\( f \)，考虑一个样本\( x \)以及真实标签\( y \)，它们的损失为\( \mathcal{L}(f(\boldsymbol{\theta}, x), y) \)，损失关于参数的梯度为
其中，式(3)的负值就是参数\( \boldsymbol{\theta} \)更新的方向。现在我们考虑两个样本\( (x_1,y_1), (x_2,y_2) \)的情况，根据上述定义，样本1的梯度为
对于样本1来说，参数更新所导致的损失变化为
将\( f(\boldsymbol{\theta}, x_1) \)通过泰勒展开变形得
\( \frac{f(θ−εg 1 ,x 1 )−f(θ,x 1 )}{εg 1} = \frac{∂f}{∂θ} \)
我们将\( \varepsilon \boldsymbol{g_1}\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\theta}} \)记作\( T(x_1) \)，并对\( \mathcal{L}(f(\boldsymbol{\theta}, x_1), y_1) \)做类似的泰勒展开得
根据式(6)可以推出第一个等号，约等于是从泰勒展开推导的，具体来说
\( \frac{L(A+T(x 1 ),y 1 )−L(A,y 1 )}{T(x 1 )} =L ′ \)
将式(7)带入式(5)得
类似的，参数根据样本\( (x_1,y_1) \)更新后，在样本\( (x_2, y_2) \)上的损失差为\( \Delta\mathcal{L}_2 \)=\( -\varepsilon \boldsymbol{g_1}\cdot \boldsymbol{g_2} \)
值得注意的是，根据定义，\( \Delta \mathcal{L}_1 \)是负的，因为模型是对于\( (x_1,y_1) \)更新的，自然就会导致其损失的降低。如果\( \Delta \mathcal{L}_2 \)也是负的，那么在\( (x_1, y_1) \)上更新的模型被认为对\( (x_2, y_2) \)有积极的影响。上面的等式表明，这种共同关系相当于两个样本的梯度\( \boldsymbol{g_1},\boldsymbol{g_2} \)之间的乘积，我们称其为梯度一致性（Gradient Accordance）
COARSE-GRAINED GRADIENT ACCORDANCE
上面提到的可以看作是样本级别的梯度一致性，由于其粒度太细，计算起来非常复杂，因此我们将其应用到batch级别的粗粒度上进行计算
考虑训练过程中包含\( n \)个样本的mini-batch \( B_0 \) ，其中样本\( \boldsymbol{X} = {x_1, x_2,…,x_n} \)，标签\( \boldsymbol{y}={y_1, y_2,…,y_n} \)，其中\( \in {c_1, c_2,…,c_k} \)，即有\( k \)个类别。这些样本可以根据它们的标签拆分成\( k \)组（每组内的样本标签是一样的）
由此可以将\( B_0 \)拆分成多个子batch的并集，\( B_0 = B_0^1\cup B_0^2\cup \cdots B_0^k \)。我们定义两个子batch \( B_0^1 \)和\( B_0^2 \)的类一致性分数为
其中，\( \boldsymbol{g}_1 \)是模型在样本集\( B_0^1 \)上的损失对参数的梯度，\( \cos(\boldsymbol{g_1}, \boldsymbol{g_2})=(\boldsymbol{g_1}/|\boldsymbol{g_1}|)\cdot (\boldsymbol{g_2}/|\boldsymbol{g_2}|) \)类一致性可以用于判断：对类别\( c_1 \)的样本集\( B_0^1 \)进行梯度下降是否也会减少类别\( c_2 \)所对应的样本集\( B_0^2 \)的损失
假设一个Epoch中有\( N \)个batch，那么\( B_s \)与\( B_t \)的批一致性分数定义如下：
批一致性可以通过评估一个批次的参数更新对另一个批次的影响，量化两个批次的学习一致性。更具体地说，\( S_{\text{batch accd}} \)如果是正的，表示这两个批次处于相同的学习节奏下，每个批次更新的模型对它们都有好处
任意一个Epoch的梯度一致性最终定义为
ANALYSIS AND DISCUSSION
实验结果这里就不放了，简单说一下就是作者使用了TextFooler、BERT-Attack、TextBugger三种攻击手段，以PGD、FreeLB、TAVAT等方法为Baseline进行对比，结果表明使用Flooding-X效果很好
从下图可以看出，当梯度一致性指标从负数变为正数时，测试集损失也开始上升，说明梯度一致性这个指标可以很好的当作是过拟合的信号
个人总结
2020年提出的Flooding本身就是一个非常有意思的Trick，可惜原论文作者也苦于超参数\( b \)的选择，因此其应用不算广泛。ACL2022这篇论文提出了梯度一致性的概念，让模型自己感知什么时候该进行Flooding，避免了超参数的选择问题