学术散文之十五
哥徳尔与塔斯基双子定理赏析
杨英锐
前奏
希尔伯特在1900年国际数学家大会上提出了23个待解决的数学猜想，包括黎曼猜想和连续统假设等，世称希尔伯特计划。关于数学大厦的逻辑基础问题，即数学大厦的一致性问题，是23个谜题之一。对此，1931年，奥地利数学家和逻辑学家哥德尔(Godel) 给出了否定性结果，他证明了一阶理论的不完全性定理，世称哥德尔不完全性定理或简称哥德尔定理。
哥德尔定理有着广泛的应用，如计算机科学中的“停机问题”即是其版本之一。同时，虽然哥德尔不完全性定理是一个最广为流传的数学定理名称，见诸于各种书中，却少有具体介绍而多有误解误传。哥德尔定理本身就是一个思想丰富引人入胜的故事，但其内容较之其他著名数学定理与证明要简单。本文不预设任何预备知识。我们将从介绍哥德尔定理以及塔斯基定理的概念定义，函项构造及其证明技巧中，赏析其蕴含的深刻思想和无双智慧。
本文穿插略取春秋笔法，分诀叙述，是有意为之，有认知上的考量。知识习得不仅在于理解，还涉及注意力，记忆，品味与体会。所以教与学都要有节奏上的把握。知识论中的柏拉图传统讲究求真求信求证三要素。心智力学告诉我们，对一般学人来说，三者难以同时并进，需要递次反复而行。这也是我历来主张教书多用黑板而少用PPT的道理。哥德尔定理和塔斯基（Tarski) 定理，不仅耐人寻味，而且品味幽深，值得作为个人的知识积淀。
上半部：理解哥德尔不完全性定理八步诀
第一诀，一阶理论
讲哥徳尔不完全性定理，说是什么预备知识都不用也不准确。唯一要预设的就是一阶逻辑。一个逻辑就是一个形式系统，数理逻辑就是对数学语言的形式化逻辑化处理。比如，数学语言说, “”, 逻辑的形式语言就表达为，。这里的符号“∀”叫做全称量词。表示一个谓語结构；其中，是一个谓词，是一个个体变元。当量词被规定只能量化个体变元时，逻辑就是一阶的。当量词还被允许量化谓词时，逻辑就是二阶的。二阶逻辑和集合论等价，再加上选择公理和连续统假设，就能把整个数学大厦搞定了。注意，一阶逻辑是完全的，这是哥德尔1930年就证明了的，叫做哥德尔完全性定理。所以哥德尔首先是一个逻辑学家。这件事，说话时要小心别和哥徳尔1931年的不完全性定理闹混了。
逻辑中有逻辑联结词，如合取，析取，蕴含和否定，这些亦称为逻辑算子。数学中有数学运算，如加法和乗法。逻辑算子与数学运算有本质的不同，这通过以下简单比较可以看出來。先看逻辑算子。析取，P或者非P，是重言式，永真，可用于定义布尔代数的单位元1。用式子写出來就有，。为了方便，这里的等号可表示等价或者等于。合取，P并且非P, 是矛盾式，永假，可用于定义布尔代数的单位元0。用式子写出來就有，。再看数学运算。加法，。乘法，。不难看出，析取与加法，合取与乘法都是不能互相置换功能的，因为得出的单位元不同。进一步看，析取和乘法，合取与加法也都不能做功能置换。因为，真与Q的析取还是真，而1乘b却等于b。类似的，假与Q的合取还是假，而0加b却等于b。究其原因，竟是逻辑里的单位元与数学中的单位元有本质的不同。真是一言不合，便使逻辑与数学分家，成楚河汉界之隔。在后面第四诀中，我们会看到以哥德尔命名的一种“配数法”，如何教一桥飞架南北，使天堑来去通途。
在前述一阶逻辑中加入二个（一个不够）数学运算，加法和乘法，再行形式化处理为一个新的形式系统，即是所称“一阶理论”；其原形就是所谓皮亚诺算术，是一个公理化系统。哥德尔不完全性定理就是刻画了一阶理论的二条元性质，即系统性性质。另外要补充的是，一阶理论是一个很基本但又很特殊的数学层面，哥德尔不完全性定理也表明在此层面上我们的公理化手段是有限的。往下看，一阶逻辑不需要更强的公理化方法；往上看，如实数或复数等更为复杂的数域反而充许更丰富的公理化方法，其完备性定理稍后为塔斯基所证明。
另外，读者在心里最好准备区别三个亭苑，对摸清本文院中路径绝对有帮助。一个是普通素朴算术；这里，对于一个n元关系，只能用“是否成立”的概念说话。另一个是规定的算术结构，在一阶理论中表示语义模型；这里，对于一个n元函项或公式只能用“是否为真”的概念说话。最后一个是一阶理论的句法形式系统，記为N；这里，对于一个函项或公式，只能用“是否可证”的概念说话。三者同门，都是自然数出身或带有自然数血统，却界限分明。在哥德尔定理中用到的可表达性概念，是在普通素朴算术与一阶理论的句法形式系统之间说话。在塔斯基定理中用到的算术可定义性概念，是在普通素朴算术与一阶理论语义模型之间说话。最后，哥德尔定理和塔斯基定理本身，又都是在一阶理论语义模型与句法形式系统之间说话。数理逻辑是老派人家，虽说一时门庭显赫不再，可事儿多，老规矩不倒架。
第二诀，自然数与枚举数
自然数集是个可数无穷：0，1，2，3，...，以至无穷，这谁都知道，在文献中叫做“直观自然数”。自然数原来除了在数论家里被当成自己人，出去到别的数学豪门中就像个灰姑娘，只能做些伺候人的活计。其主要工作就是给人当脚标，上标下标明标暗标还有爱因斯坦约定上下和标；张量变换中因为來來回回的走标繁复，没少让学者们白眼厌烦。这灰姑娘倒是心态平衡，但看你们实数复数虽然域不胜数，生态连续，极限涟漪，可微处处。不过，话说回来，游动其上的变元数总得可数吧，那就少不得我自然数沿街走标的一口饭吃。这看似是何等的无奈。谁诚想，哥德尔独具慧眼，发现这自然数竟是个少林扫地僧，身怀绝技深藏不露。在后面第四第五诀中，一个哥德尔配数法将天下证明前后一网收尽，一个自指语句将世间公式内外复雨翻云。令人未及说此神来一笔，巳是结舌当下。
在现代数学中，自然数也是要被定义构造出來的，这样构造出來的自然数被定义为“枚举数”。具体做法是从空集ϕ出发，通过后继函数归纳定义。空集里面没有元素，定义为第一个枚举数0。下一个枚举数是以空集为唯一元素的集合｛ϕ｝, 定义为第二个枚举数1。以此类推，后面每一个枚举数都被一个以其前面所有出现的枚举数为元素的集合所定义，记为。这个构造方法称为后继函数。
不去深想，直观自然数和枚举数的区别不过是把自然数用集合论语言重新定义出来。不说这是花拳秀腿，充其量也就是平凡功夫。可哥德尔偏就能从无痕处发微，引出下面“可表达性”的概念来。
第三诀，可表达性
可表达性建立了算术关糸与一阶理论可证性之间的联系。这里算术中的一个元关系对应着一阶理论中的一个元函项。要问 个自然数是否满关系, 就相当于问将相应的个枚举数代入涵项后在一阶理论N中是否可证。可表达性同时说了二句话，第一句，如果为真，则在N中可证。第二句，若为假，则 ¬在N中可证, 这里“¬”是否定算符。
在可表达性的二个条件句中，交叉使用逻辑排中律，每一句中由此即彼，两句之间非此即彼，让读者可能陡然产生强烈的逻辑感，感受到逻辑概念化的跨越力量，感受到逻辑处理手法的生硬与无情，让人爱恨交织。任何一种科学抽象都是有边界的，有所得便会有所失，这是波普尔的科学哲学思想。这在数学里叫做“平凡化处理”，为建立二个不同维度，就只能舍弃某些缠绕，以使二者正交起来。
尤其是可表达性的第二句话，由假强行过渡到 ¬在N中可证，是一个很强的条件，甚至有悖直观。这在推理心理学中，无分相互竞争的心智逻辑理论还是心智模型理论，都有不同的处理方式。可表达性定义了一个由素朴算术到语法表示的历史性转折，其中即表现了似敦克尔克大撤退的悲剧美，又预示着似诺曼底登陆的人类心智使命担当。
另外，弱弱的耳语，我们上面用到了“若关系为真”的语义修辞，那是为了上下文的叙述方便。等到后面续接塔斯基不可定义性定理时，就会看到，一个“谓词真”会掀起何等波澜。
第四诀，哥徳尔配数法
这是廿世纪人类心智的绝唱，数学美的无双颠峰。比之爱因斯坦广义相对论中的等效原理，哥德尔配数法异曲同工，却不输妙悟，胜在严格精密。难怪爱因斯坦说，他每天去普林斯顿高等研究院上班，就为了和哥德尔一起散步呢。哥德尔配数法可以分三步介绍。
第一步，每个符号可机械地配以一个唯一奇数。一个形式系统，比如一阶逻辑或一阶理论，其形式语言的可用符号可以无穷多，却总是可数的。这样，总可以安排某种机械的方式，按顺序为每个符号配上一个唯一的奇数，称为这个符号的哥徳尔数。
第二步，每个公式是一个有穷符号串，可为每一个公式机械地配以唯一的一个合数，即其哥德尔数。生成此哥德尔数的方式非常神圣，谨怀敬畏之心写出如下。
上面等式的左边，标明是公式的哥德尔数。右边是一串共个指数的乘积，由初始素数打头排下去，第个指数的底是第个素数，其肩膀上扛的是公式中第个符号的哥德尔数。
第三步，每个证明是一个有穷公式集的有序序列。可以为每一个证明机械地配以一个唯一的合数，即其哥德尔数。生成此哥德尔数的方式更加神圣，仍怀敬畏之心写出如下。
上面等式的左边，标明是一个证明的哥德尔数，也是一个合数；是德文“证明”的缩写。右边仍是一有穷串指数的乘积，而这次第个素数肩膀上扛的，却换成了此证明序列中第个公式的哥德尔数。
这就是哥德尔配数法。其神奇之处在于，反过来从一个证明的哥德尔数，亦即一个合数出发，由素数分解唯一性定理，可以找到产生这个哥德尔数的唯一指数串。同理，再由其中每个指数肩上的，关于相应公式的哥徳尔数，可以找到产生此哥德尔数的指数串；同理，又由其中每个指数的肩上，可以找到关于相应符号的哥德尔数。由此，我们可复原每个符号，复原表达每个公式的符号串，直至复原表达一个证明的公式序列。
这里我们体会到素数的品格，颗是颗，粒儿是粒儿，卓而不群，群而不党，有底线又只做好自己。有素数做底，肩膀有担当，进则合为一拳，退而队列清析，确是文明之师。每个符号，配以奇数唯一，可查可数，是中国身份证号，是美国社会安全号，普查管理纳税救济，悉数均在掌握之中。奇数，素数，合数，分兵把守，各司其职，由哥德尔配数法合理搭配组合，即接自然数素朴地气，又占尽洞察形式系统天机。呜呼，此法只应天上有，奈何哥氏醉人间。这样，我们就可以在一阶理论与其算术模型之间双向转换了。
第五诀，自指语句
哥德尔配数法的妙用之一是可用来生成自指语句。设是一个只含一个自由变元的公式，令其哥德尔数为。将此哥德尔数代入, 得到一个闭项。就是一个自指语句，它含有其母公式的哥徳尔数。假设是可证的，它应该有一个证明，记为，这个证明也会有自己的哥德尔数。
我们现在可以引入一个二元算术关系,，这里 是一个只含有一个自由变元的母公式的哥德尔数，而 是由其生成的自指语句 之证明的哥德尔数，即 。只要 和 满足以上条件， 成立，则由可表达性定义， 在N中可证。
这看上去是很建设性的进展，很正面啊。谁能想到哥德尔明修栈道却暗渡陈仓，在 前加了一个否定算子，由此情势立变，攻防逆转。其结果是将希尔伯特之链上23颗参悟佛珠中的一颗反拧，如断臂维纳斯，给后人留下无尽的哲学思辩与本体论问询。他妙手构造的公式明确的说：对于所有的, 并非，写出来就有 。回忆函项的定义，这公式明白告诉我们，任何都不是某个证明的哥德尔数。现在令公式的哥德尔数为, 即可构造出自指语句
此式便是哥德尔定理的主角，也是双子定理的男主角。这个公式落落大方，既身怀母公式的自指,又手按函项的非门，却自然而然不留违和之感。唯一没交待的，就是它自己的身份可有证明。哥德尔不完全性定理及其证明，就都是拿这个自指语句 的身份证明说事。
哥德尔配数法和自指语句构造还有一层意境，那就是从美学的角度把东西方古代数学文化传统融为一体。西方数学文化，从欧几里德《几何原本》朔源，有讲究一般化分析的传统。东方古代数学文化，讲究的是用例子，但不是普通的例子，而是具有一般性的例证，比如中国的《九章算术》，又比如（現代）印度的拉马努金。这个道理，已故逻辑学家沈有鼎先生（在哈佛时和蒯恩同学）曾亲口跟我讲过；他有过一个做中国古代逻辑学史的博士生，其博士论文说的就是这件事。沈先生还写过一本关于墨家逻辑思想的书。一个数学证明，居然成为一个哥德尔数，这简直是例证化到了极限。细细思辩自指语句的奥妙，有时都不好意思多说哲学了。
第六诀，协调性与协调性
做了这么多的准备工作，前期铺垫，这就快进入主题了。我们说一个形式系统是语法协调的（亦称一致性），是指对于任何公式来说，要么这个公式是可证的，要么这个公式的否定是可证的。即排中，又周延。
哥德尔定理的证明还要用到一个缺之不可的概念，即协调性。它是说，考虑任意给定的，带一个自由变元的公式；如果对于任何, 都是可证的，那 就是不可证的。有一条引理后面要用到；它是说协调性蕴含协调性。道理这里就省去不说了，心里着急见哥德尔定理真面目呢。
第七诀，哥德尔独立性定理
(陈述一) 若N协调，则不可证。用反证法，设 可证，则有其证明, 並有其证明之哥德尔数 满足, 由其可表达性则有; 但由的构造, 对所有, 这不可能。这个矛盾推翻了反证法假设，故 不可证。
(陈述二) 如果N是协调的，则不可证。用反证法，假设可证。那么由引理，N是协调的，所以，由假设推出不可证。也就是说，不存在的证明，所以也不存在所谓之证明的哥德尔数。由此，对于任何 ,关系都不成立；反过來说，就是对于任意 ,关系, 都成立，而这正符合的公式表达：这样，由协调性定义，就成为可证的。前面刚由反证法假设推出不可证，现在又改口说可证，这个矛盾推翻了反证法假设，证明了不可证。
由陈述一和陈述二的证明，可知语句在一阶理论N中确实是既不可证又不可否证的;我们说，它是独立于一阶理论的。这个结果被称为哥德尔独立性定理，亦称为哥德尔第一定理。这是个具有一般性的结果；如果试图把做为公理加到一阶理论N中，还可以继续构造出新独立语句來。
第八诀，哥德尔不完全性定理
思辩一下，的句子构造说的是自己不可证。以上我们证明了确实不可证，所以说的是真的。好了，是真的却不可证，说明一阶理论N是不完全的。这就是著名的哥徳尔不完全性定理。最后，别忘了交待完全性的定义：对于N中任何语句, 如果是真的，那么是可证的。
中场
哥德尔不完全性定理自希尔伯特雄伟计划出发，步步惊心，一路绝尘。其悲剧壮美，莎翁又何出其右。正是心智顶慧，科学界碑。不过，万事但有阴晴圆缺。我们前面为了叙述方便说到过“一个关系是真的”，又说到“S是真的”。真是“真”吗？“真”是什么意思？这在逻辑哲学上叫做真理论问询。下面接着要讲的塔斯基不可定义性定理，是哥德尔不完全性定理的姐妹篇。如果说哥氏定理是横空出世，平地惊雷，如曹雪芹写红楼梦前八十回，极尽荣华，暗含隐示，那么下面要说的塔斯基定理便是高鄂缘续后四十回，用说慌者悖论手法，造“真谓词”，讲究其内涵外延，分析数学语言层次，入可定义性深境探幽。先手自然数，又复手语法，再翻手语义，一动三式，“真”词定义，空集不宿，又是一番学术境界。
按当代形式科学的要求，一个形式系统，如一个逻辑系统，有二个标准组分，即其语法和语义学。这反映了形式语言的本质。在系统的形式语法中，讲究的是可证性；而在其语义学中，是用“真值”说话，真值只能为真或为假，是排中的，故又称为命题态度。一阶理论的语义学，亦称其模型，就是一个算术结构。语法及其语义学要等权，也就是在可证性与有效性之间要有当且仅当的关系，这是元逻辑关于系统整体性质的要求。任意一个公式可证则其有效，称语义可靠性。任意一个有效公式都是可证明的，称为完全性。我们希望一个系统的语法和语义学是等权的。前者强后者弱是为形式化不充份或模型化过份，前者弱而后者强则为模型化不充份或形式化过份。在决策论中，不完全性也称为对应非理性，非可靠性也称为反映非理性。
下半部: 理解塔斯基定理四步诀
第九诀，算术可定义性
在前文第三诀中，定义了由哥德尔所引入的可表达性概念，那是讲大家都知道的所谓在素朴算术中成立的关系的和一阶理论语法中可证性之间的联系。塔斯基引入了“算术可定义性”的概念，说的是素朴算术中成立的的关系与一阶理论语义学（即作为模型的给定算术结构）之间的联系。它说，如果一个n元关系在素朴算术中成立，那么其相应的函项在一阶理论模型中断言为真，由此就说关系R 是在此模型中是算术可定义的。
考虑只带一个自由变元的公式, 称为母公式,並令其哥德尔数为。将代入, 得到一个新的公式，这是一个闭项（不带自由变元），是 的一个自指语句。如此，还可以再令为的哥德尔数。认真说来，塔斯基定理较之哥德尔定理，有一个概念上的难点。哥德尔定理中用到二个哥德尔数，一个是母公式的哥德尔数，另一个是其自指语句之证明的哥德尔数，二件事容易分开，在认知和记忆中没有阻碍。在塔斯定理中也要用到二个哥德尔数，一个是母公式的哥德尔数，另一个是其自指语句的哥德尔数，这在概念上自相缠绕，这在心理学上就需要更强的认知努力以避免思维中造成记忆上的认知堵塞。我在讲课中注意到这个问题。所以，为了便于区别，我们称一个母公式的哥徳尔数为一阶哥徳尔数，而称由母公式及其哥德尔数而生成的自指语句的哥德尔数为二阶哥德尔数。
造出二阶哥德尔数，塔斯基算是把哥德尔配数法发挥的淋漓尽致。背后的动机，是他要引入一个自然数关系，记为 , 其中是母公式的一阶哥德尔数，是其自指语句的二阶哥德尔数。进一步，由, 在一阶理论及其模型中可算术定义一个函项,, 也可说后者为前者所算术定义。这又是一道怎样的苦心，双重自指，必有后用。值得指出的是，, 是一个具有一般性的二元关系，对任何带有一个自由变元的公式都成立；所以,,亦是一个具有一般性的二元谓词函项。
塔斯基显然受到哥德尔工作的影响，使用哥德尔配数法就是明证。不过，天才就是天才。哥德尔是天才，是一代语法剑圣；塔斯基也是天才，是一代语义刀魂。他们都具有数学逻辑基础的学术情怀，也具备与天机唇语的使命，更身怀逢山开山遇水架桥的本领。
第十诀，真谓词与语义模型
天才一般不告诉别人他的思维过程和认知努力，一半是未知一半是故意。必然耶，偶然耶，路漫漫兮或是灵光闪现，唯天才途上冷暖自知。关于哥德尔和塔斯基工作的故事，其前因后果，科学背景和学术影响，属于科学哲学和科学史的硏究范围。本文只在哥德尔定理和塔斯基定理的内部发微，直接使用天才论语言对简介文章似最方便。
真值在数理逻辑中本来是个语义的概念，只在模型中说话。一日，刀魂塔斯基做天才想：如果以刀为剑，对命題态度“真”做句法处理，又该是怎样一番意境？于是，塔斯基在原来一阶理论的形式语言N中掭加了一个真谓词。 由此，有了带真谓词的假想一阶理论,。可就这惊鸿一瞥，骤起波澜。
注意，有了真谓词, 就可以构造带有的语句。同时，也就要为之而扩张原有模型。真谓词是个一元谓词。作为动词，中文“是”的英文就是“to be”, 后面跟上一个形容词或名词就表示一条性质，如“是红的”，“是圆的”，“是塑料的”。既然如此，生造出一条性质，“是真的”，似无不妥。
为叙述方便，先引入三个记法。首先，将前诀中的闭项记为。其次，既然现在在语法中加入了真谓词，按理说就该有在其模型中预为真的真语句，记为。最后，这个是一个语句，它应该有哥德尔数，记为。这样，如果是真谓词的一个算术模型，就会有，属于的外延,当且仅当在内涵下预释为真。真谓词的模型用一个集合的定义表达出來即清楚又简单：
即的外延是一集哥德尔数，而的内涵是说其中每一个都是也只能是某个在模型中解释为真的公式的哥德尔数。
第十一诀，说谎者悖论
常有人误以为哥德尔不完全性定像是一个悖论，其实不是。可塔斯基定理不同，它确实是世称“撒谎者悖论”的形式化翻新版。说谎者悖论起源于这样一句话：“此话为假”。思辩一下，若视这句话为真，则可导出其为假；若视这句话为假，则可导出其为真。这就是人称说谎者悖论。塔斯基匠心独具，把说谎者悖论翻写到一阶理论中，精心构造出以下语句: 对于所有的, 如果, 则有 。 写成公式，就有
这个公式带有一个自由变元, 所以是一个开公式。这个式子当然有唯一的哥德尔数，可令。将取代此公式中所含的自由变元, 可得一个闭项。这是一个自指语句，形如
此式便是塔斯基定理的主角，也是双子定理的女主角。这个式子又有唯一的哥德尔数，可令, 这是一个二阶哥德尔数。我们后诀且看塔斯基如何用之开阖雄辩。
第十二诀，塔斯基定理
塔斯基满怀激情地把真谓词写入一阶理论，是何等的眼光悟性，又是何等的胆气魄力。结果，却发现为这个真谓词找不到模型。也许有人会说，人家塔斯基的初衷没准儿就要做一个否定性结果呢。这种说法一般都是后话（post hoc saying)。很少有数学家上来就想做否定性结果的。哥德尔当年本来也是意欲在希尔伯特计划中建立功勋，为当时蓬勃发展的数学大厦打下稳固的逻辑根基，那是悲剧美背后的壮烈。华丽转身不等于压根儿就没转过身。在得到优雅的否定性结果之后，又有谁愿意去回忆诉说那最初的惶惶然与失落感呢。
简而言之，塔斯基定理就是说，在一阶理论框架下，真谓词没有算术模型。其证明用的是反证法，我们还是分三步走。
第一步，用反证法，我们假设存在一个如前定义的模型。
第二步，即然存在一个如前定义的模型，则应预释为真，于是应有属于。
第三步，即然为的哥德尔数，即为的二阶哥德尔数。由前第九诀中的定义，则应有,由此可算术定义 。可是，回忆前面刻画的条件句结构，就可推出，这说的是在下不真，所以不属于。
由于以上第二步和第三步结果矛盾，可见第一步中的反证法假设不成立。也就是说，真谓词还真就在一阶理论框架下找不到模型，即真谓词是不可算术定义的。这就是世称塔斯基不可定义性定理。
塔斯基后来发展了语言层次理论。他认为关于一个给定系统的真谓词是在本系统内不可定义的。也就是说，关于一个给定语言层次的真理论刻画超越了本层次规定的描述配置，需要动用更高语言层次的陈述装置力量。对此研究领域有更多兴趣的读者，可以参考熊明的专著，《塔斯基定理与真理论悖论》（2014，中国科学出版社）。
尾声
哥德尔与塔斯基双子定理，刀剑合壁。读来波澜壮阔，步步惊心；余味却是元典优雅，衔接无痕。此文是由我在美国伦斯勒理工学院的课堂讲演整理而成。北大数学学院刘张矩教授前些时候邀我去他们学院讲座哥德尔不完全性定理；中科院数学所贾朝华教授早就我为《数学文化》杂志写点什么，这篇文字正可两用。文中对哥德尔定理的介绍，参考的是A. Margaris 的书，《一阶数理逻辑》（First Order Mathematical Logic, 1967。）文中对塔斯基定理的介绍，参考了熊明的书,前面提到过。
每个成熟的学科领域，都会有其图腾。对哥德尔不完全性定理的图腾崇拜，早已超越了数理逻辑的边界。对此有更多兴趣的读者，可以参阅《哥德尔、埃舍尔、巴赫 - 集异壁之大成》。（【美】侯世达著，郭维德等译，1995，商务印书馆）。此书英文原版出版于1979年，曾获普利策文学奖。哥德尔在数理哲学上主张客观唯心主义，反映了其对心智世界的本体论承诺。对此感兴趣的读者可参阅刘晓力专著《理性的生命：哥德尔思想研究》（2000，湖南科技出版社）。
爱因斯坦在一次讲演开始时说，有二个人做着统一性质的工作。一个是他本人在理论物理中的工作，另一个是哥德尔在数学和数理逻辑领域的工作。他说，他没有成功，而哥德尔成功了。二十世纪前半叶，是科学基本理论英雄辈出的时代。怀特海和罗素写了数学原理，爱因斯坦写了相对论原理，狄拉克写了量子力学原理，马歇尔写了经济学原理，詹姆斯写了心理学原理，等等。这些都曾是我心中的科学图腾。最近这些年，我最欣赏的是规范场论。我认为，尊重（respect) 和敬佩（admiration) 是有区别的。一个学者应该尊重每一个同事和他们的研究工作，这是职业要求，也是学术伦理。但敬佩是油然而生的个人感受，属于私人空间，甚至一个学者对自己都无法强作要求。这十多年來，我一直在做自己的原理性基本理论硏究，使用理论物理标准模型，尤其是规范场论，作为逻辑来引领经济力学和心智力学的模型化。从对理论物理的敬畏，诚惶诚恐的学习，思考，讲授和写作，到现在越来越成熟的工作，我对自己也越来越敬佩起来。外化一下，就对社会科学与自然科学的深刻联系油然而生出无法自已的崇拜。我想，这是一种信仰，是科学信仰的养成。这之中隐现着哥徳尔和塔斯基双子定理之大美无形的图腾影响，是一种学术教养。
我第一次学哥德尔不完全性定理还是四十年前在北大吴允曾先生的课上。在吴先生的授意下，我当时写了一篇关于哥德尔不完全性定理的文章发表在《国外社会科学译丛》1980年某期上。彼时即在心里埋下一个念想。这哥德尔配数法可是囊中飞標靴藏短剑，将来要攻城略地远取近搏，此法是绝杀利器，非收好了不可。一年多前我意识到哥德尔定理在理论物理中有应用，稍后发现还需要塔斯基定理，自此魂系梦牵，视为天机。我的习惯是学什么思考什么就在课上讲什么。最近二个学期我就在经济力学和心智力学二个课上加讲了这两个定理。走进教室，我照旧是片纸不带，板书流，辩才无碍，激情讲来，看上去应该像是一个训练有素的数学家，这是一个教师应有的面貌和责任。要下课时，我坦告学生，为讲这两个定理我课前又把二个证明各抄了不下十遍。所以，我佈置学生回去每人把二个证明各抄三遍，声言下次课我收作业。
（2019-2-27）