解析几何汇总——数学竞赛

答案

初赛

第一届：求经过三平行直线，的圆柱面方程
第二届：已知二次曲面（非退化）过以下九点：,,问是哪一类曲面？
第三届：已知四点试求过这四点的球面方程。
第四届：设为椭圆抛物面从原点作的切锥面，求切锥面方程。
第五届：平面上两个半径为的圆和外切于点。将圆沿的圆周(无滑动)滚动一圈，这时，上的点也随的运动而运动。记为点的运动轨迹曲线，称为心脏线。现设为以的初始位置（切点）为圆心的圆，其半径为。记为圆的反演变换，它将映成射线上的点满足求证：为抛物线
第六届：已知空间的两条直线
(1)证明和异面
(2)求和公垂线的标准方程
(3)求连接上的任一点和上的任一点线段中点的轨迹的一般方程。
第七届：设和是空间中两异面直线。设在标准直角坐标系下直线过坐标为的点，以单位向量为直线方向；直线过坐标为的点，以单位向量为直线方向。
(1)证明：存在唯一点和使得两点连线同时垂直于和
(2)求点和点坐标(用表示)
第八届：设是空间中的一个椭球面，设方向为常向量的一束平行光线照射，其中的部分光线与相切，它们的切点在上形成一条曲线证明：落在一张过椭球中心的平面上。
第九届：在平面直角坐标系中，设单叶双曲面的方程为。设为空间中的平面，它交于一抛物线求该平面的法线与轴的夹角
第十届：在平面直角坐标系中，设马鞍面S的方程为。设为平面,其中为给定常数。求马鞍面上点的坐标，使得过且落在马鞍面上的直线均平行于平面

决赛

第一届：已知两直线的方程
(1)问：参数满足什么条件时，和是异面直线
(2)当和不重合时，求绕旋转所生成的旋转面的方程，并指出曲面的类型
第二届：求出过原点且和椭球面的交线为一个圆周的所有平面。
第三届：设有空间中五点，试求过点且与所在平面平行而与直线垂直的直线方程
第四届：设为正常数，直线与双曲线所围的有限部分的面积为，证明：
(i)所有上述与双曲线的截线段的中点的轨迹为双曲线。
(ii)总是(i)中轨迹曲线的切线
第五届：设为中的抛物面为外一固定点，满足过点作的所有切线。证明：这些切线的切点落在同一张平面上。
第六届：设空间中定点到一定直线的距离为。一族球面中的每个球面都过点，且截直线得到的弦长都是定值求该球面族的球心的轨迹。
第七届：在空间直角坐标系中，设为椭圆柱面是空间中的平面，它与的交集为一个圆。求所有这样平面的法向量。
第八届：在空间直角坐标系中设旋转抛物面的方程为设为空间中的平面，它交抛物面与曲线问：是何种类型的曲线？证明你的结论。
第九届：在空间直角坐标系下，设有椭球面及外部一点过点且与相切的所有直线构成锥面。证明：存在平面使得交线；同时求出平面的方程。