用皮尔逊积描述变量的相关关系

摘要：记录了用皮尔逊积描述变量的相关关系的理论依据、计算方式以及在Java环境的代码示例，同时也说明了约束条件、缺点。

相关系数(Correlation coefficient)

• 相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。

• 著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。

• 依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。

相关系数的计算方法

相关系数的计算方法

• 相关系数的值介于–1与+1之间，即–1≤r≤+1。其性质如下：
  • 当r>0时，表示两变量正相关，r<0时，两变量为负相关。
  • 当|r|=1时，表示两变量为完全线性相关，即为函数关系。
  • 当r=0时，表示两变量间无线性相关关系。
  • 当0<|r|<1时，表示两变量存在一定程度的线性相关。且|r|越接近1，两变量间线性关系越密切；|r|越接近于0，表示两变量的线性相关越弱。

• 相关系数一般可按三级划分：|r|<0.4为低度线性相关；0.4≤|r|<0.7为显著性相关；0.7≤|r|<1为高度线性相关。

使用案例

广告费与月平均销售额相关表，单位：万元

年广告费投入	月均销售额
12.5	21.2
15.3	23.9
23.2	32.9
26.4	34.1
33.5	42.5
34.4	43.2
39.4	49.0
45.2	52.8
55.4	59.4
60.9	63.5

计算过程

相关系数为0.9942，说明广告投入费与月平均销售额之间有高度的线性正相关关系。

代码示例

public class Pearson {
    /**
     * 计算两组数据的皮尔逊积相关性
     * @param firstRow 第一组数据
     * @param secondRow 第二组数据
     * @return
     */
    public static double GetPearson(List firstRow, List secondRow) {
        // 两组数据平均值
        double averageFirst = 0.0;
        double averageSecond = 0.0;
        // 分子
        double sumNumerator = 0.0;
        // 分母
        double sumDenominator = 0.0;
        // 若两列数据长度不同，仅取较短长度进行计算
        int compareLenth = firstRow.size() > secondRow.size() ? secondRow.size() : firstRow.size();

        for (int tempValue = 0; tempValue < compareLenth; tempValue++) {
            averageFirst += Double.valueOf(firstRow.get(tempValue));
            averageSecond += Double.valueOf(secondRow.get(tempValue));
        }
        //计算平均值
        averageFirst = averageFirst / compareLenth;
        averageSecond = averageSecond / compareLenth;
        // 分子
        for (int tempValue = 0; tempValue < compareLenth; tempValue++) {
            sumNumerator += (Double.valueOf(firstRow.get(tempValue)) - averageFirst) * (Double.valueOf(secondRow.get(tempValue)) - averageSecond);
        }
        // 分母
        double tempA = 0;
        double tempB = 0;
        for (int tempValue = 0; tempValue < compareLenth; tempValue++) {
            tempA += Math.pow((Double.valueOf(firstRow.get(tempValue)) - averageFirst), 2);
            tempB += Math.pow((Double.valueOf(secondRow.get(tempValue)) - averageSecond), 2);
        }
        sumDenominator = Math.sqrt(tempA) * Math.sqrt(tempB);
        return sumNumerator / sumDenominator;
    }
}

皮尔逊相关系数的约束条件

• 两个变量间有线性关系
• 变量是连续变量
• 变量均符合正态分布,且二元分布也符合正态分布
• 两变量独立。在实践统计中一般只输出两个系数,一个是相关系数也就是计算出来的相关系数大小(在-1到1之间)，另一个是独立样本检验系数，用来检验样本一致性。

相关系数的缺点

• 需要指出的是，相关系数有一个明显的缺点，即它接近于1的程度与数据组数n相关，这容易给人一种假象。因为，当n较小时，相关系数的波动较大，对有些样本相关系数的绝对值易接近于1；当n较大时，相关系数的绝对值容易偏小。特别是当n=2时，相关系数的绝对值总为1。因此在样本容量n较小时，我们仅凭相关系数较大就判定变量x与y之间有密切的线性关系是不妥当的。

• 例如，就我国深沪两股市资产负债率与每股收益之间的相关关系做研究。发现1999年资产负债率前40名的上市公司，二者的相关系数为r=–0.6139；资产负债率后20名的上市公司，二者的相关系数r=0.1072；而对于沪、深全部上市公司（基金除外）结果却是，r沪=–0.5509，r深=–0.4361，根据三级划分方法，两变量为显著性相关。这也说明仅凭r的计算值大小判断相关程度有一定的缺陷。

参考文献

• 郭红霞.相关系数及其应用.武警工程学院学报.2010年3月,第26卷第2期
• 王爱莲.统计学.第七章 相关与回归分析.第一节 相关分析.西安石油大学.经济管理学院
• 使用案例参考了MBA智库网