概率论(七):参数估计

点估计

一个适当的统计量

,用它的观察值
作为未知参数
的近似值。于是称
估计量,其观察值则为估计值

矩估计法

一般来说,样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数。于是我们可以用样本矩作为相应的总体矩的估计量,这种方法称为矩估计法。


概率论(七):参数估计_第1张图片

最大似然估计法

假设总体

属离散型,其分布律
,
待估计参数
可能取值的范围。设
是来自
的样本,则
联合分布律
,又设
是相应于样本
的一个样本值。那么样本
取到观察值
的概率
,其中
未知数
皆是已知的常数
称为样本的似然函数

固定样本观察值

,在
内挑选使似然函数
达到最大的参数值
,作为参数
的估计值 :
,得到的统计量
称为参数
最大似然估计量

对于连续型总体来说,亦是如此。

一般我们可以通过

对数似然方程来求得最大似然估计

概率论(七):参数估计_第2张图片

估计量的评选标准

无偏性

若估计量

的数学期望
存在,且对于任意
,则称
的无偏估计量。

有效性

假如

都是
的无偏估计量,若对于任意
,有
,且至少对于某一个
上式中的不等式成立,则称
有效。

区间估计

概率论(七):参数估计_第3张图片

正态总体均值与方差的区间估计

单个总体的情况

均值
的置信区间

  • 为已知,由
    的一个置信水平为
    的置信区间
  • 为未知,由
    的一个置信水平为
    的置信区间

方差
的置信区间

  • 未知,由
    的一个置信水平为
    的置信区间
    概率论(七):参数估计_第4张图片

两个总体的情况

两个总体均值差的置信区间

  • 均为已知,由
    的一个置信水平为
    的置信区间

  • ,但
    未知,由
    的一个置信水平为
    的置信区间

    概率论(七):参数估计_第5张图片

两个总体方差比得置信区间

  • 均未知,由

单侧置信区间

概率论(七):参数估计_第6张图片

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