平衡树Treap

在学习平衡树Treap之前，我们先来了解什么是二叉查找树。

二叉查找树（BST：Binary Search Tree）

一棵二叉查找树定义如下：

1、树中每个节点都有一个权值。（现假设权值均不相同）

2、若左子树非空，则左子树上所有节点的权值均小于根节点的权值。

3、若右子树非空，则右子树上所有节点的权值均大于根节点的权值。

4、左右子树也分别为二叉查找树。

如下图所示，树中每个节点中的数字代表的节点权值，显然，下图是一棵二叉查找树。

可以观察到，一棵BST的中序遍历是一个升序序列。（如果不存在重复值的话）

给定一个序列A，我们可以建立一棵BST方便地实现查询、插入、删除操作。如果序列A有n个元素，且对应的BST的高度为logn，那么每次查询、插入、删除操作复杂度自然是logn的。（BST的插入、删除、查询算法这里省略，较简单，请自行补充学习）。

但是我们也会发现，有时候序列A的数据会导致所建立的BST退化为链，或高度远大于logn。这时的查询等操作复杂度就变得很高。例如序列A=[1,2,3,4,5,6].我们可以建立一棵对应的BST如下图所示：

但我们发现，序列A不是只有一棵BST，下图的3种也可以称为序列A对应的BST。并且下图每一个BST的中序遍历和图2都是一致的。

我们称中序遍历一样的两棵BST是等价BST。

并且我们发现下面两棵等价BST可以通过一次旋转得到。例如下图：

左边BST可通过左旋以4为根的子树得到右边的BST，反之亦然。

Zig（右旋）/  Zag（左旋）

我们定义两种操作Zig（右旋）和  Zag（左旋）如下：

Zig

对于以v为根的子树进行Zig（右旋）操作，步骤如下：

（1）假设v的左二子为c，调整v的左二子为c的右儿子。

（2）调整c的右儿子为v。

（3）调整根v为c。

Zig参考代码

Zag

对于以v为根的子树进行Zag（左旋）操作，步骤如下：

（1）假设v的右二子为c，调整v的右二子为c的左儿子。

（2）调整c的左儿子为v。

（3）调整根v为c。

Zag参考代码

平衡树Treap

根据上面的分析，当序列的数字有序时，序列极有可能退化为链，树上操作复杂度会变得很高，于是我们需要设法调整BST的高度。根据不同的调整策略，对应了不同的平衡树类型，例如Treap，AVL，Splay，红黑树等等。

Treap的基本思想是，对于随机数据，序列所构造的BST的高度期望值 为logn。

在实际操作时，Treap对BST上的每个节点除了维护基本信息（左右儿子编号l,r,权值w,子树数字个数size，重复元素计数cnt等信息以外），额外维护一个随机优先级pri。如下：

树上节点信息

并且我们规定，树上所有节点的Pri值必须满足小根堆性质。即，每个节点的pri值小于左右儿子的pri值。如下图：

节点中数字代表权值w，节点旁数字代表pri

那么，在Treap中插入或删除一个节点时，会导致Treap的Pri值不满足小根堆性质，根据上面提及的等价BST概念，我们可以通过Zig或Zag操作来进行调整。具体方式如下：

Treap插入操作

1.插入节点算法步骤

Step1、u从根节点r开始，如果x

Step2、如果当前节点为空，在此节点建立新的节点即可。

Step3、为新建立的节点随机分配优先级，回溯时检查优先级是否满足堆序。

       Step 3.1 若左子节点优先级小于当前节点，右旋。

        Step 3.2 若右子节点优先级小于当前节点，左旋。

2.插入节点示例

现在，如果要在Treap中插入一个新的节点，例如（w=4,pri=15）。

插入新节点（w=4,pri=15）

发现现在的Treap不满足pri值的小根堆性质了，并且对于节点3这棵子树来讲，其右儿子节点4的pri值小于3的pri值，此时，我们可以将3这棵子树左旋，如下图：

现在的Treap仍然不满足pri值的小根堆性质，并且对于节点5这棵子树来讲，其左二子节点4的pri值小于节点5的pri值，此时，我们可以将5这棵子树右旋，如下图：

至此，经过旋转操作的Treap已经满足要求。下图为参考代码：

插入节点操作参考代码

说明：这个参考代码里面，对于重复元素的处理是维护的节点的cnt信息。

Treap删除操作

1.删除节点算法步骤

Step1、如果当前节点是叶子节点，或只有一个子节点的非叶子节点。直接删除即可，用它的孩子节点替换它。

Step2、如果当前节点是有2个子节点的非叶子节点。通过旋转操作将其变为可以直接删除的节点。

        Step2.1、如果该节点的左孩子优先级<右孩子优先级，右旋该节点；

        Step2.2、否则左旋该节点。转Step2.

2.删除节点示例

例如，现在要删除节点8，对于节点8而言，其右儿子pri值小于左二子pri值，那么左旋8为根的子树。

左旋8

此时节点8已经是一个可以直接删除的节点，用8的左二子替换它即可。

删除8

删除节点参考代码

Treap的用途

1、查询数x的排名。算法如下：

（1）设结果为ans，初始ans=0.

（2）从根节点num开始，如果x==t[num].w，答案即为t[t[num].l].size+ans+1；如果xr.w，更新ans+=t[t[num].l].size+t[num].cnt，递归查询右子树。

查询x的排名参考代码

2、查询数x的前驱或后继。注意区分是严格前驱（后继）还是非严格前驱（后继）。

非严格前驱（后继）定义：x的前驱定义为Treap中不大于x的最大值。后继定义为不小于x的最小值。

算法如下：

（1）设结果为ans，初始ans=0.

（2）从根节点num开始，如果x>=t[num].w，更新ans为当前节点，递归查询右子树；如果x

查询非严格前驱（后继）参考代码

查询非严格前驱（后继）参考 代码

3、查询序列中的第K大或第K小。算法如下：

由于Treap每个节点维护了size信息，从根节点num开始：

（1）如果k<=t[t[num].l].size，那么递归查询左子树第k大。

（2）否则如果t[t[num].l].size

（3）否则递归查询右子树第k-t[t[num].l].size-t[num].cnt大。

查询第k小参考代码

二分查找、平衡树、权值线段树的对比

习题

ybt1565-1568